Prakalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{x + 4} - 2$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{y + 4} - 2$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{y + 4} - 2 = x$ .

$\sqrt{y + 4} - 2 = x$

Langkah 3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$\sqrt{y + 4} = x + 2$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{y + 4}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y + 4}$ sebagai ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(y + 4)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Sederhanakan.

$y + 4 = {(x + 2)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(x + 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x + 2)}^{2}$ sebagai $(x + 2) (x + 2)$ .

$y + 4 = (x + 2) (x + 2)$

Langkah 3.4.3.1.2

Perluas $(x + 2) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y + 4 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Langkah 3.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Langkah 3.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y + 4 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.4.3.1.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + 4 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Langkah 3.4.3.1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + 4 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Langkah 3.4.3.1.3.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$y + 4 = x^{2} + 4 x + 4$

Langkah 3.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = x^{2} + 4 x + 4 - 4$

Langkah 3.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} + 4 x + 4 - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$y = x^{2} + 4 x + 0$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $x^{2} + 4 x$ dan $0$ .

$y = x^{2} + 4 x$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(\sqrt{x + 4} - 2)}^{2} + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali ${(\sqrt{x + 4} - 2)}^{2}$ sebagai $(\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} - 2)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = (\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} - 2) + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.2

Perluas $(\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} (\sqrt{x + 4} - 2) - 2 (\sqrt{x + 4} - 2) + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{x + 4} - 2) + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Kalikan $\sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1.1

Naikkan $\sqrt{x + 4}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.1.2

Naikkan $\sqrt{x + 4}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.1.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {\sqrt{x + 4}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.1.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {\sqrt{x + 4}}^{2} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{x + 4}}^{2}$ sebagai $x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 4}$ sebagai ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = (x + 4) + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.2.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 4 + \sqrt{x + 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 4 - 2 \cdot \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \cdot - 2 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 4 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x + 4} + 4 + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 2 \sqrt{x + 4} - 2 \sqrt{x + 4} + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.3.3

Kurangi $2 \sqrt{x + 4}$ dengan $- 2 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 (\sqrt{x + 4} - 2)$

Langkah 5.2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \cdot - 2$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} - 8$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 8 - 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Tambahkan $- 4 \sqrt{x + 4}$ dan $4 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 + 0 - 8$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x + 8$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 8 - 8$

Langkah 5.2.4.3

Kurangi $8$ dengan $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x + 0$

Langkah 5.2.4.4

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 4} - 2) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{2} + 4 x)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{(x^{2} + 4 x) + 4} - 2$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 2^{2}} - 2$

Langkah 5.3.3.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 5.3.3.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} - 2$

Langkah 5.3.3.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$f (x^{2} + 4 x) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Langkah 5.3.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (x^{2} + 4 x) = x + 2 - 2$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f (x^{2} + 4 x) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (x^{2} + 4 x) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{x + 4} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 4 x$