Prakalkulus Contoh

$f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 4 + \sqrt{x + 4}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 4 + \sqrt{y + 4}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 + \sqrt{y + 4} = x$ .

$4 + \sqrt{y + 4} = x$

Langkah 3.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{y + 4} = x - 4$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{y + 4}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y + 4}$ sebagai ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(y + 4)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Sederhanakan.

$y + 4 = {(x - 4)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(x - 4)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x - 4)}^{2}$ sebagai $(x - 4) (x - 4)$ .

$y + 4 = (x - 4) (x - 4)$

Langkah 3.4.3.1.2

Perluas $(x - 4) (x - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y + 4 = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Langkah 3.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Langkah 3.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Langkah 3.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y + 4 = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Langkah 3.4.3.1.3.1.2

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Langkah 3.4.3.1.3.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Langkah 3.4.3.1.3.2

Kurangi $4 x$ dengan $- 4 x$ .

$y + 4 = x^{2} - 8 x + 16$

Langkah 3.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 4$

Langkah 3.5.2

Kurangi $4$ dengan $16$ .

$y = x^{2} - 8 x + 12$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ merupakan balikan dari $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = {(4 + \sqrt{x + 4})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali ${(4 + \sqrt{x + 4})}^{2}$ sebagai $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = (4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.2

Perluas $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 (4 + \sqrt{x + 4}) + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.3

Kalikan $\sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.3.1

Naikkan $\sqrt{x + 4}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{1 + 1} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{x + 4}}^{2}$ sebagai $x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 4}$ sebagai ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.1.4.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.2

Tambahkan $16$ dan $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.3.3

Tambahkan $4 \sqrt{x + 4}$ dan $4 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Langkah 5.2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 \cdot 4 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan suku balikan dalam $20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Kurangi $8 \sqrt{x + 4}$ dengan $8 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 0 + 12$

Langkah 5.2.4.1.2

Tambahkan $20 + x - 32$ dan $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 12$

Langkah 5.2.4.2

Kurangi $32$ dengan $20$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x - 12 + 12$

Langkah 5.2.4.3

Gabungkan suku balikan dalam $x - 12 + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Tambahkan $- 12$ dan $12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{2} - 8 x + 12)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{(x^{2} - 8 x + 12) + 4}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tambahkan $12$ dan $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 16}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Langkah 5.3.3.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

Langkah 5.3.3.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{{(x - 4)}^{2}}$

Langkah 5.3.3.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + x - 4$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $4 + x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ merupakan balikan dari $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$