Prakalkulus Contoh

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

Langkah 1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

Langkah 2

Selesaikan $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{144 - x^{2}}$ sebagai ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Langkah 2.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Langkah 2.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

Langkah 2.2.2.1.2

Sederhanakan.

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Sederhanakan ${(16 - x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Tulis kembali ${(16 - x)}^{2}$ sebagai $(16 - x) (16 - x)$ .

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

Langkah 2.2.3.1.2

Perluas $(16 - x) (16 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

Langkah 2.2.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

Langkah 2.2.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Langkah 2.2.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.3.1.1

Kalikan $16$ dengan $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Langkah 2.2.3.1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

Langkah 2.2.3.1.3.1.3

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

Langkah 2.2.3.1.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Langkah 2.2.3.1.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Langkah 2.2.3.1.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Langkah 2.2.3.1.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

Langkah 2.2.3.1.3.1.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

Langkah 2.2.3.1.3.2

Kurangi $16 x$ dengan $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

Langkah 2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

Langkah 2.3.3

Kurangkan $144$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

Langkah 2.3.4

Kurangi $144$ dengan $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

Langkah 2.3.5

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 32 x$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

Langkah 2.3.5.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

Langkah 2.3.5.1.3

Faktorkan $2$ dari $112$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

Langkah 2.3.5.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

Langkah 2.3.5.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ .

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

Langkah 2.3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

Langkah 2.3.6

Bagi setiap suku pada $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Bagilah setiap suku di $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.6.2.1.2

Bagilah $x^{2} - 16 x + 56$ dengan $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

Langkah 2.3.7

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

Langkah 2.3.8

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 16$ , dan $c = 56$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.9.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.9.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.9.1.3

Kurangi $224$ dengan $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.9.1.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.9.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.9.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.9.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.3.9.3

Sederhanakan $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.10.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.10.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.10.1.3

Kurangi $224$ dengan $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.10.1.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.10.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.10.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.10.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.3.10.3

Sederhanakan $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.3.10.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.3.11

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1.1

Naikkan $- 16$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.11.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.11.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.11.1.3

Kurangi $224$ dengan $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.11.1.4

Tulis kembali $32$ sebagai $4^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1.4.1

Faktorkan $16$ dari $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.11.1.4.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.11.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.3.11.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 2.3.11.3

Sederhanakan $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.3.11.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 2.3.12

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 3

Evaluasi $y$ ketika $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $8 + 2 \sqrt{2}$ untuk $x$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

Langkah 3.2

Sederhanakan $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 3.2.2

Kurangi $8$ dengan $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 4

Evaluasi $y$ ketika $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $8 - 2 \sqrt{2}$ untuk $x$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

Langkah 4.2

Sederhanakan $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.2.2

Kurangi $8$ dengan $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Titik:

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Bentuk Persamaan:

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 7