Prakalkulus Contoh

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 4$

$h = 3$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(3, - 4)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$\sqrt{25}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$5$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(7, - 4)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, - 4)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(7, - 4), (- 1, - 4)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(8, - 4)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 2, - 4)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(8, - 4), (- 2, - 4)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Langkah 8.3.3

Tambahkan $16$ dan $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Langkah 8.3.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{5}{4}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{3^{2}}{5}$

Langkah 9.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{9}{5}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) - 4$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) - 4$

Langkah 11.2

Sederhanakan $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3) - 4$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3 - 4$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3 - 4$

Langkah 11.2.1.4

Kalikan $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.4.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4} - 4$

Langkah 11.2.1.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4} - 4$

Langkah 11.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} - 4$

Langkah 11.2.2

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 11.2.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Langkah 11.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9 - 4 \cdot 4}{4}$

Langkah 11.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9 - 16}{4}$

Langkah 11.2.5.2

Kurangi $16$ dengan $- 9$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 11.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) - 4$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3) - 4$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3 - 4$

Langkah 12.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3 - 4$

Langkah 12.2.1.4

Kalikan $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4}) - 4$

Langkah 12.2.1.4.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4} - 4$

Langkah 12.2.1.4.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4} - 4$

Langkah 12.2.1.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} - 4$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9 - 4 \cdot 4}{4}$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9 - 16}{4}$

Langkah 12.2.5.2

Kurangi $16$ dengan $9$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 7}{4}$

Langkah 12.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{7}{4}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}, y = - \frac{3 x}{4} - \frac{7}{4}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(3, - 4)$

Verteks: $(7, - 4), (- 1, - 4)$

Titik api: $(8, - 4), (- 2, - 4)$

Eksentrisitas: $\frac{5}{4}$

Parameter Fokus: $\frac{9}{5}$

Asimtot: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{25}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} - \frac{7}{4}$

Langkah 15