Prakalkulus Contoh

$9 x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 5.3.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

Langkah 5.3.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Langkah 5.3.7

Untuk menuliskan $\frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Langkah 5.3.8

Untuk menuliskan $- \frac{1}{9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 5.3.9

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $36$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 5.3.9.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 5.3.9.3

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Langkah 5.3.9.4

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

Langkah 5.3.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

Langkah 5.3.11

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

Langkah 5.3.12

Tulis kembali $\sqrt{\frac{5}{36}}$ sebagai $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

Langkah 5.3.13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.13.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

Langkah 5.3.13.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + \frac{1}{2})$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, \frac{1}{2})$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (\frac{1}{2}))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - \frac{1}{2})$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{5}}{6})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Langkah 8.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Langkah 8.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Langkah 8.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Langkah 8.3.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Langkah 8.3.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Langkah 8.3.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Langkah 8.3.8

Untuk menuliskan $\frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Langkah 8.3.9

Untuk menuliskan $- \frac{1}{9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Langkah 8.3.10

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $36$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Langkah 8.3.10.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Langkah 8.3.10.3

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Langkah 8.3.10.4

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Langkah 8.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Langkah 8.3.12

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Langkah 8.3.13

Tulis kembali $\sqrt{\frac{5}{36}}$ sebagai $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Langkah 8.3.14

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.14.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Langkah 8.3.14.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Langkah 8.3.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.15.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Langkah 8.3.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Langkah 8.3.15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{1}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{1}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{5}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{5}}{6})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Langkah 10