Prakalkulus Contoh

$x^{2} + 5 y^{2} - 8 x - 30 y - 39 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $39$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} + 5 y^{2} - 8 x - 30 y = 39$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $x^{2} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 4}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$d = - 4$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$e = 0 - 16$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$e = - 16$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Langkah 1.3

Substitusikan ${(x - 4)}^{2} - 16$ untuk $x^{2} - 8 x$ dalam persamaan $x^{2} + 5 y^{2} - 8 x - 30 y = 39$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 + 5 y^{2} - 30 y = 39$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 16$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $16$ ke kedua sisinya.

${(x - 4)}^{2} + 5 y^{2} - 30 y = 39 + 16$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $5 y^{2} - 30 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 5$

$b = - 30$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 30}{2 \cdot 5}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 30$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 30$ .

$d = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 5}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 15}{2 (5)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 5}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 15}{5}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 15$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $- 15$ .

$d = \frac{5 \cdot - 3}{5}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$d = \frac{5 \cdot - 3}{5 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 3}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $- 3$ dengan $1$ .

$d = - 3$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 30)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 30$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{900}{4 \cdot 5}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$e = 0 - \frac{900}{20}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $900$ dengan $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 45$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $45$ .

$e = 0 - 45$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $45$ dengan $0$ .

$e = - 45$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $5 {(y - 3)}^{2} - 45$ .

$5 {(y - 3)}^{2} - 45$

Langkah 1.6

Substitusikan $5 {(y - 3)}^{2} - 45$ untuk $5 y^{2} - 30 y$ dalam persamaan $x^{2} + 5 y^{2} - 8 x - 30 y = 39$ .

${(x - 4)}^{2} + 5 {(y - 3)}^{2} - 45 = 39 + 16$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 45$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $45$ ke kedua sisinya.

${(x - 4)}^{2} + 5 {(y - 3)}^{2} = 39 + 16 + 45$

Langkah 1.8

Sederhanakan $39 + 16 + 45$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $39$ dan $16$ .

${(x - 4)}^{2} + 5 {(y - 3)}^{2} = 55 + 45$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $55$ dan $45$ .

${(x - 4)}^{2} + 5 {(y - 3)}^{2} = 100$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $100$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{100} + \frac{5 {(y - 3)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{100} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{20} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 10$

$b = 2 \sqrt{5}$

$k = 3$

$h = 4$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(4, 3)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(10)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{100 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{100 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 5.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{100 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{100 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{1})}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{100 - (4 \cdot 5)}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- (4 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\sqrt{100 - 1 \cdot 20}$

Langkah 5.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\sqrt{100 - 20}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $20$ dengan $100$ .

$\sqrt{80}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $80$ sebagai $4^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Faktorkan $16$ dari $80$ .

$\sqrt{16 (5)}$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 5}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$4 \sqrt{5}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(4 + 10, 3)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(14, 3)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(4 - (10), 3)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 6, 3)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(14, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 3)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(4 + 4 \sqrt{5}, 3)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(4 - (4 \sqrt{5}), 3)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(4 - 4 \sqrt{5}, 3)$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(4 + 4 \sqrt{5}, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4 - 4 \sqrt{5}, 3)$

${Focus}_{1}$ : $(4 + 4 \sqrt{5}, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4 - 4 \sqrt{5}, 3)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(10)}^{2} - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{10}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - {(2 \sqrt{5})}^{2}}}{10}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{100 - (2^{2} {\sqrt{5}}^{2})}}{10}$

Langkah 8.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}}{10}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{100 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{10}$

Langkah 8.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{10}$

Langkah 8.3.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{10}$

Langkah 8.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}}{10}$

Langkah 8.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{100 - (4 \cdot 5^{1})}}{10}$

Langkah 8.3.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{100 - (4 \cdot 5)}}{10}$

Langkah 8.3.1.5

Kalikan $- (4 \cdot 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{\sqrt{100 - 1 \cdot 20}}{10}$

Langkah 8.3.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\frac{\sqrt{100 - 20}}{10}$

Langkah 8.3.1.6

Kurangi $20$ dengan $100$ .

$\frac{\sqrt{80}}{10}$

Langkah 8.3.1.7

Tulis kembali $80$ sebagai $4^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.7.1

Faktorkan $16$ dari $80$ .

$\frac{\sqrt{16 (5)}}{10}$

Langkah 8.3.1.7.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{10}$

Langkah 8.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{4 \sqrt{5}}{10}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{10}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 (5)}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 5}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(4, 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(14, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 6, 3)$

${Focus}_{1}$ : $(4 + 4 \sqrt{5}, 3)$

${Focus}_{2}$ : $(4 - 4 \sqrt{5}, 3)$

Eksentrisitas: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Langkah 10