Prakalkulus Contoh

$y^{2} - 10 y + 4 x + 25 = 0$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 10 y + 4 x + 25 = - y^{2}$

Langkah 1.2

Tambahkan $10 y$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x + 25 = - y^{2} + 10 y$

Langkah 1.3

Kurangkan $25$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{4} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{4}$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$

Langkah 3

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Selesaikan kuadrat dari $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$c = - \frac{25}{4}$

Langkah 3.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 3.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Langkah 3.1.1.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Langkah 3.1.1.3.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Langkah 3.1.1.3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Langkah 3.1.1.3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Langkah 3.1.1.3.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Langkah 3.1.1.3.2.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$d = \frac{5}{2} (- (1 \cdot 2))$

Langkah 3.1.1.3.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $- (1 \cdot 2)$ .

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Langkah 3.1.1.3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Langkah 3.1.1.3.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Langkah 3.1.1.3.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Langkah 3.1.1.3.2.8

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$d = - 5$

Langkah 3.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{2}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.3

Bagilah $- 4$ dengan $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 1}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{25}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{25}{4} - (- 1 \cdot \frac{25}{4})$

Langkah 3.1.1.4.2.1.5

Tulis kembali $- 1 \cdot \frac{25}{4}$ sebagai $- \frac{25}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.6

Kalikan $- - \frac{25}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = - \frac{25}{4} + 1 (\frac{25}{4})$

Langkah 3.1.1.4.2.1.6.2

Kalikan $\frac{25}{4}$ dengan $1$ .

$e = - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

Langkah 3.1.1.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e = \frac{- 25 + 25}{4}$

Langkah 3.1.1.4.2.3

Tambahkan $- 25$ dan $25$ .

$e = \frac{0}{4}$

Langkah 3.1.1.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$e = 0$

Langkah 3.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$

Langkah 3.1.2

Aturlah $x$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 5)}^{2} + 0$

Langkah 3.2

Gunakan bentuk directrix, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 5$

Langkah 3.3

Karena nilai dari $a$ negatif, parabolanya membuka ke kiri.

Membuka ke Kiri

Langkah 3.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(0, 5)$

Langkah 3.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 3.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Langkah 3.5.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 3.5.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Langkah 3.5.3.3

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Langkah 3.5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{1}$

Langkah 3.5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 1$

Langkah 3.5.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 3.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat x $h$ jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$(h + p, k)$

Langkah 3.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 1, 5)$

Langkah 3.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$y = 5$

Langkah 3.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Garis arah parabola adalah garis tegak yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat x $h$ dari verteks jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$x = h - p$

Langkah 3.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $h$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$x = 1$

Langkah 3.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Kiri

Verteks: $(0, 5)$

Fokus: $(- 1, 5)$

Sumbu Simetri: $y = 5$

Direktriks: $x = 1$

Arah: Membuka ke Kiri

Verteks: $(0, 5)$

Fokus: $(- 1, 5)$

Sumbu Simetri: $y = 5$

Direktriks: $x = 1$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $- 2$ ke dalam $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 2, 7.82842712)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = 5 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $5 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 5 + 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.1.3

Konversikan $5 + 2 \sqrt{2}$ ke desimal.

$= 7.82842712$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $- 2$ ke dalam $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 2, 2.17157287)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = 5 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.2.2.2

Jawaban akhirnya adalah $5 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 5 - 2 \sqrt{2}$

Langkah 4.2.3

Konversikan $5 - 2 \sqrt{2}$ ke desimal.

$= 2.17157287$

Langkah 4.3

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = 5 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, 7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \sqrt{1}$

Langkah 4.3.2.1.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (- 1) = 5 + 2 \cdot 1$

Langkah 4.3.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = 5 + 2$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $5$ dan $2$ .

$f (- 1) = 7$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7$ .

$y = 7$

Langkah 4.3.3

Konversikan $7$ ke desimal.

$= 7$

Langkah 4.4

Substitusikan nilai $x$ $- 1$ ke dalam $f (x) = 5 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(- 1, 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \sqrt{1}$

Langkah 4.4.2.1.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (- 1) = 5 - 2 \cdot 1$

Langkah 4.4.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = 5 - 2$

Langkah 4.4.2.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$f (- 1) = 3$

Langkah 4.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 4.4.3

Konversikan $3$ ke desimal.

$= 3$

Langkah 4.5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

Langkah 5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Kiri

Verteks: $(0, 5)$

Fokus: $(- 1, 5)$

Sumbu Simetri: $y = 5$

Direktriks: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7.83 \\ - 2 & 2.17 \\ - 1 & 7 \\ - 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{array}$

Langkah 6