Prakalkulus Contoh

$\sin (θ) < 0$ , $\tan (θ) < 0$

Langkah 1

Selesaikan $\sin (θ) < 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam sinus.

$θ < \arcsin (0)$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$θ < 0$

Langkah 1.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$θ = π - 0$

Langkah 1.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$θ = π$

Langkah 1.5

Tentukan periode dari $\sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.6

Periode dari fungsi $\sin (θ)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.7

Gabungkan jawabannya.

$θ = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$

Langkah 1.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Uji nilai pada interval $0 < θ < π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1.1

Pilih nilai pada interval $0 < θ < π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$θ = 2$

Langkah 1.9.1.2

Ganti $θ$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (2) < 0$

Langkah 1.9.1.3

Sisi kiri $0.90929742$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.9.2

Uji nilai pada interval $π < θ < 2 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.2.1

Pilih nilai pada interval $π < θ < 2 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$θ = 5$

Langkah 1.9.2.2

Ganti $θ$ dengan $5$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (5) < 0$

Langkah 1.9.2.3

Sisi kiri $- 0.95892427$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 1.9.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 < θ < π$ Salah

$π < θ < 2 π$ Benar

$0 < θ < π$ Salah

$π < θ < 2 π$ Benar

Langkah 1.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Selesaikan $\tan (θ) < 0$ untuk $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam tangen.

$θ < \arctan (0)$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$θ < 0$

Langkah 2.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$θ = π + 0$

Langkah 2.4

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$θ = π$

Langkah 2.5

Tentukan periode dari $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 2.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.6

Periode dari fungsi $\tan (θ)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$θ = π n, π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Gabungkan jawabannya.

$θ = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.8

Tentukan domain dari $\tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Atur argumen dalam $\tan (θ)$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.8.2

Domain adalah semua nilai dari $θ$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 2.9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 < θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < θ < π$

Langkah 2.10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Uji nilai pada interval $0 < θ < \frac{π}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1.1

Pilih nilai pada interval $0 < θ < \frac{π}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$θ = 1$

Langkah 2.10.1.2

Ganti $θ$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (1) < 0$

Langkah 2.10.1.3

Sisi kiri $1.55740772$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 2.10.2

Uji nilai pada interval $\frac{π}{2} < θ < π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{2} < θ < π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$θ = 2$

Langkah 2.10.2.2

Ganti $θ$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$\tan (2) < 0$

Langkah 2.10.2.3

Sisi kiri $- 2.18503986$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 2.10.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Salah

$\frac{π}{2} < θ < π$ Benar

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Salah

$\frac{π}{2} < θ < π$ Benar

Langkah 2.11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan irisan dari $π + 2 π n < θ < 2 π + 2 π n$ dan $\frac{π}{2} + π n < θ < π + π n$ .

Tidak ada penyelesaian