Prakalkulus Contoh

$y = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan domain untuk $y = x \sqrt{1 - x^{2}}$ sehingga daftar nilai $x$ dapat diambil untuk mancari daftar titik, yang akan membantu membuat grafik akarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Langkah 1.2.2

Atur $1 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Atur $1 + x$ sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.2.3

Atur $1 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Atur $1 - x$ sama dengan $0$ .

$1 - x = 0$

Langkah 1.2.3.2

Selesaikan $1 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 1$

Langkah 1.2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 1.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 1.2.5

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 1.2.6

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 1.2.6.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.1.3

Sisi kiri $- 15$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.2.6.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 1.2.6.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.2.3

Sisi kiri $1$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 1.2.6.3

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 1.2.6.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Langkah 1.2.6.3.3

Sisi kiri $- 15$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 1.2.6.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

$x < - 1$ Salah

$- 1 < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

Langkah 1.2.7

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 1 \leq x \leq 1$

Langkah 1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 1, 1]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Notasi Interval:

$[- 1, 1]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Langkah 2

Untuk menentukan titik-titik akhir, substitusikan batas-batas nilai $x$ dari domain ke dalam $f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (- 1) = - 1 \sqrt{(1 - 1) (1 - (- 1))}$

Langkah 2.2.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 - (- 1))}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 (1 + 1)}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0 \cdot 2}$

Langkah 2.2.5

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0}$

Langkah 2.2.6

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (- 1) = - 1 \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.2.7

Kalikan dengan nol.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 1) = - 1 \cdot 0$

Langkah 2.2.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (- 1) = 0$

Langkah 2.2.8

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Langkah 2.4

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (1) = 1 \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $\sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$ dengan $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1 + 1) (1 - (1))}$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - (1))}$

Langkah 2.4.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

Langkah 2.4.5

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Langkah 2.4.6

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Langkah 2.4.7

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (1) = 0$

Langkah 2.4.9

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3

Titik-titik akhirnya adalah $(- 1, 0), (1, 0)$ .

$(- 1, 0), (1, 0)$

Langkah 4

Akar kuadrat dapat digambarkan dengan grafik menggunakan titik-titik di sekitar verteks $(- 1, 0), (1, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Langkah 5