Prakalkulus Contoh

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Langkah 1

Sederhanakan $\frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$x - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2}$

Langkah 1.2

Tulis kembali ${(y - 1)}^{2}$ sebagai $(y - 1) (y - 1)$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot ((y - 1) (y - 1))$

Langkah 1.3

Perluas $(y - 1) (y - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1))$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1))$

Langkah 1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.4.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.4.1.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.4.1.4

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1)$

Langkah 1.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - y - y + 1)$

Langkah 1.4.2

Kurangi $y$ dengan $- y$ .

$x - 4 = \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 y + 1)$

Langkah 1.5

Terapkan sifat distributif.

$x - 4 = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 2 y) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 1.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- y)) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 1.6.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$x - 4 = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2}$

Langkah 2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 4 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{1 + 8}{2}$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $1$ dan $8$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$

Langkah 3

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Selesaikan kuadrat dari $\frac{y^{2}}{2} - y + \frac{9}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = \frac{9}{2}$

Langkah 3.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 3.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 3.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Langkah 3.1.1.3.2.2

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 3.1.1.3.2.3

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 3.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 3.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 3.1.1.4.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$e = \frac{9}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 3.1.1.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e = \frac{9 - 1}{2}$

Langkah 3.1.1.4.2.3

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$e = \frac{8}{2}$

Langkah 3.1.1.4.2.4

Bagilah $8$ dengan $2$ .

$e = 4$

Langkah 3.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 1)}^{2} + 4$

Langkah 3.1.2

Aturlah $x$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 1)}^{2} + 4$

Langkah 3.2

Gunakan bentuk directrix, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = 1$

Langkah 3.3

Karena nilai $a$ adalah positif, maka parabola membuka ke kanan.

Membuka ke Kanan

Langkah 3.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(4, 1)$

Langkah 3.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 3.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 3.5.3.2

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 3.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat x $h$ jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$(h + p, k)$

Langkah 3.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\frac{9}{2}, 1)$

Langkah 3.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$y = 1$

Langkah 3.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Garis arah parabola adalah garis tegak yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat x $h$ dari verteks jika parabola membuka ke kiri atau ke kanan.

$x = h - p$

Langkah 3.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $h$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$x = \frac{7}{2}$

Langkah 3.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(4, 1)$

Fokus: $(\frac{9}{2}, 1)$

Sumbu Simetri: $y = 1$

Direktriks: $x = \frac{7}{2}$

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(4, 1)$

Fokus: $(\frac{9}{2}, 1)$

Sumbu Simetri: $y = 1$

Direktriks: $x = \frac{7}{2}$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $5$ ke dalam $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(5, 2.41421356)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f (5) = \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$f (5) = \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 1$

Langkah 4.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\sqrt{2} + 1$ .

$y = \sqrt{2} + 1$

Langkah 4.1.3

Konversikan $\sqrt{2} + 1$ ke desimal.

$= 2.41421356$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $5$ ke dalam $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(5, - 0.41421356)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f (5) = - \sqrt{2 ((5) - 4)} + 1$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$f (5) = - \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 1$

Langkah 4.2.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- \sqrt{2} + 1$ .

$y = - \sqrt{2} + 1$

Langkah 4.2.3

Konversikan $- \sqrt{2} + 1$ ke desimal.

$= - 0.41421356$

Langkah 4.3

Substitusikan nilai $x$ $6$ ke dalam $f (x) = \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(6, 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f (6) = \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Kurangi $4$ dengan $6$ .

$f (6) = \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (6) = \sqrt{4} + 1$

Langkah 4.3.2.1.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (6) = \sqrt{2^{2}} + 1$

Langkah 4.3.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (6) = 2 + 1$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (6) = 3$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 4.3.3

Konversikan $3$ ke desimal.

$= 3$

Langkah 4.4

Substitusikan nilai $x$ $6$ ke dalam $f (x) = - \sqrt{2 (x - 4)} + 1$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(6, - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f (6) = - \sqrt{2 ((6) - 4)} + 1$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1

Kurangi $4$ dengan $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Langkah 4.4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (6) = - \sqrt{4} + 1$

Langkah 4.4.2.1.3

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (6) = - \sqrt{2^{2}} + 1$

Langkah 4.4.2.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (6) = - 1 \cdot 2 + 1$

Langkah 4.4.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (6) = - 2 + 1$

Langkah 4.4.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f (6) = - 1$

Langkah 4.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 4.4.3

Konversikan $- 1$ ke desimal.

$= - 1$

Langkah 4.5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Langkah 5

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Kanan

Verteks: $(4, 1)$

Fokus: $(\frac{9}{2}, 1)$

Sumbu Simetri: $y = 1$

Direktriks: $x = \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 1 \\ 5 & 2.41 \\ 5 & - 0.41 \\ 6 & 3 \\ 6 & - 1 \end{array}$

Langkah 6