Prakalkulus Contoh

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Langkah 1

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali ${(x - 3)}^{2}$ sebagai $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

Langkah 1.1.3

Perluas $(x - 3) (x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

Langkah 1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Langkah 1.1.4.1.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

Langkah 1.1.4.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

Langkah 1.1.4.2

Kurangi $3 x$ dengan $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

Langkah 1.1.5

Terapkan sifat distributif.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Langkah 1.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Langkah 1.1.6.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 6 x$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Langkah 1.1.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Langkah 1.1.6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

Langkah 1.1.6.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

Langkah 1.1.6.4

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.4.1

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

Langkah 1.1.6.4.2

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

Langkah 1.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

Langkah 1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

Langkah 1.2.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Langkah 1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $- 9$ dan $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

Langkah 2

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Selesaikan kuadrat dari $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

Langkah 2.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 2.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.3.2.1.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

Langkah 2.1.1.3.2.2

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Langkah 2.1.1.3.2.3

Bagilah $3$ dengan $- 1$ .

$d = - 3$

Langkah 2.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.3

Bagilah $- 4$ dengan $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.1.5

Kalikan $- - \frac{9}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

Langkah 2.1.1.4.2.1.5.2

Kalikan $\frac{9}{2}$ dengan $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.3

Tambahkan $1$ dan $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

Langkah 2.1.1.4.2.4

Bagilah $10$ dengan $2$ .

$e = 5$

Langkah 2.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

Langkah 2.1.2

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

Langkah 2.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

Langkah 2.3

Karena nilai $a$ adalah negatif, maka parabola membuka ke bawah.

Membuka ke Bawah

Langkah 2.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Langkah 2.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 2.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Langkah 2.5.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Langkah 2.5.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Langkah 2.5.3.3

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 2.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 2.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(3, \frac{9}{2})$

Langkah 2.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = 3$

Langkah 2.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 2.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = \frac{11}{2}$

Langkah 2.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(3, 5)$

Fokus: $(3, \frac{9}{2})$

Sumbu Simetri: $x = 3$

Direktriks: $y = \frac{11}{2}$

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(3, 5)$

Fokus: $(3, \frac{9}{2})$

Sumbu Simetri: $x = 3$

Direktriks: $y = \frac{11}{2}$

Langkah 3

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

Langkah 3.2.4.2

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

Langkah 3.2.5

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$f (1) = 3$

Langkah 3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 3.3

Nilai $y$ pada $x = 1$ adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 3.4

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

Langkah 3.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

Langkah 3.5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

Langkah 3.5.3

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.5.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

Langkah 3.5.5

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Langkah 3.5.6

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Langkah 3.5.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Langkah 3.5.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.8.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

Langkah 3.5.8.2

Kurangi $3$ dengan $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

Langkah 3.5.9

Jawaban akhirnya adalah $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Langkah 3.6

Nilai $y$ pada $x = 2$ adalah $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Langkah 3.7

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

Langkah 3.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

Langkah 3.8.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

Langkah 3.8.3

Tambahkan $- 25$ dan $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

Langkah 3.8.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

Langkah 3.8.4.2

Bagilah $- 24$ dengan $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

Langkah 3.8.5

Kurangi $12$ dengan $15$ .

$f (5) = 3$

Langkah 3.8.6

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 3.9

Nilai $y$ pada $x = 5$ adalah $3$ .

$y = 3$

Langkah 3.10

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

Langkah 3.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

Langkah 3.11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

Langkah 3.11.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

Langkah 3.11.3

Tambahkan $- 16$ dan $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

Langkah 3.11.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.4.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

Langkah 3.11.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

Langkah 3.11.5

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Langkah 3.11.6

Gabungkan $12$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Langkah 3.11.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

Langkah 3.11.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.8.1

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

Langkah 3.11.8.2

Kurangi $15$ dengan $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

Langkah 3.11.9

Jawaban akhirnya adalah $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Langkah 3.12

Nilai $y$ pada $x = 4$ adalah $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Langkah 3.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Langkah 4

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(3, 5)$

Fokus: $(3, \frac{9}{2})$

Sumbu Simetri: $x = 3$

Direktriks: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

Langkah 5