Prakalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 11$

Langkah 1

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Selesaikan kuadrat dari $3 x^{2} - 12 x + 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 3$

$b = - 12$

$c = 11$

Langkah 1.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (3)}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 6}{3}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3}$

Langkah 1.1.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Langkah 1.1.1.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Langkah 1.1.1.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.1.1.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 11 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 12$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 11 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$e = 11 - \frac{144}{12}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.3

Bagilah $144$ dengan $12$ .

$e = 11 - 1 \cdot 12$

Langkah 1.1.1.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$e = 11 - 12$

Langkah 1.1.1.4.2.2

Kurangi $12$ dengan $11$ .

$e = - 1$

Langkah 1.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $3 {(x - 2)}^{2} - 1$ .

$3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Langkah 1.1.2

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - 1$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = 3$

$h = 2$

$k = - 1$

Langkah 1.3

Karena nilai $a$ adalah positif, maka parabola membuka ke atas.

Membuka ke Atas

Langkah 1.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Langkah 1.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 1.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.5.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{1}{12}$

Langkah 1.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 1.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2, - \frac{11}{12})$

Langkah 1.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = 2$

Langkah 1.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 1.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = - \frac{13}{12}$

Langkah 1.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(2, - 1)$

Fokus: $(2, - \frac{11}{12})$

Sumbu Simetri: $x = 2$

Direktriks: $y = - \frac{13}{12}$

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(2, - 1)$

Fokus: $(2, - \frac{11}{12})$

Sumbu Simetri: $x = 2$

Direktriks: $y = - \frac{13}{12}$

Langkah 2

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 11$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 11$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 - 12 \cdot 1 + 11$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 - 12 + 11$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kurangi $12$ dengan $3$ .

$f (1) = - 9 + 11$

Langkah 2.2.2.2

Tambahkan $- 9$ dan $11$ .

$f (1) = 2$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 2.3

Nilai $y$ pada $x = 1$ adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 2.4

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 11$

Langkah 2.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 11$

Langkah 2.5.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 11$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 11$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $11$ .

$f (0) = 11$

Langkah 2.5.3

Jawaban akhirnya adalah $11$ .

$11$

Langkah 2.6

Nilai $y$ pada $x = 0$ adalah $11$ .

$y = 11$

Langkah 2.7

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Langkah 2.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 11$

Langkah 2.8.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 12 \cdot 3 + 11$

Langkah 2.8.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 12 \cdot 3 + 11$

Langkah 2.8.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (3) = 27 - 12 \cdot 3 + 11$

Langkah 2.8.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $3$ .

$f (3) = 27 - 36 + 11$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Kurangi $36$ dengan $27$ .

$f (3) = - 9 + 11$

Langkah 2.8.2.2

Tambahkan $- 9$ dan $11$ .

$f (3) = 2$

Langkah 2.8.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 2.9

Nilai $y$ pada $x = 3$ adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 2.10

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 11$

Langkah 2.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 11$

Langkah 2.11.1.2

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$f (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 11$

Langkah 2.11.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $4$ .

$f (4) = 48 - 48 + 11$

Langkah 2.11.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.1

Kurangi $48$ dengan $48$ .

$f (4) = 0 + 11$

Langkah 2.11.2.2

Tambahkan $0$ dan $11$ .

$f (4) = 11$

Langkah 2.11.3

Jawaban akhirnya adalah $11$ .

$11$

Langkah 2.12

Nilai $y$ pada $x = 4$ adalah $11$ .

$y = 11$

Langkah 2.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Langkah 3

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Atas

Verteks: $(2, - 1)$

Fokus: $(2, - \frac{11}{12})$

Sumbu Simetri: $x = 2$

Direktriks: $y = - \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 11 \\ 1 & 2 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 4 & 11 \end{array}$

Langkah 4