Prakalkulus Contoh

$f (x) = 16 - \frac{1}{4} x^{2}$

Langkah 1

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Sederhanakan $16 - \frac{1}{4} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y = 16 - \frac{x^{2}}{4}$

Langkah 1.1.1.2

Susun kembali $16$ dan $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 16$

Langkah 1.1.2

Selesaikan kuadrat dari $- \frac{x^{2}}{4} + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 16$

Langkah 1.1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 1.1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 1.1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 1.1.2.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Langkah 1.1.2.3.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Langkah 1.1.2.3.2.3

Kalikan $0 (- 1 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Langkah 1.1.2.3.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $- 4$ .

$d = 0$

Langkah 1.1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 1.1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e = 16 - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.3

Bagilah $- 4$ dengan $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 1}$

Langkah 1.1.2.4.2.1.4

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$e = 16 - 0$

Langkah 1.1.2.4.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e = 16 + 0$

Langkah 1.1.2.4.2.2

Tambahkan $16$ dan $0$ .

$e = 16$

Langkah 1.1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$

Langkah 1.1.3

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 16$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 16$

Langkah 1.3

Karena nilai $a$ adalah negatif, maka parabola membuka ke bawah.

Membuka ke Bawah

Langkah 1.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(0, 16)$

Langkah 1.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 1.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Langkah 1.5.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Langkah 1.5.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Langkah 1.5.3.3

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Langkah 1.5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{1}$

Langkah 1.5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 1.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 1.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, 15)$

Langkah 1.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = 0$

Langkah 1.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 1.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = 17$

Langkah 1.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(0, 16)$

Fokus: $(0, 15)$

Sumbu Simetri: $x = 0$

Direktriks: $y = 17$

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(0, 16)$

Fokus: $(0, 15)$

Sumbu Simetri: $x = 0$

Direktriks: $y = 17$

Langkah 2

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 16$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Langkah 2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (- 2) = - 1 + 16$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $16$ .

$f (- 2) = 15$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $15$ .

$15$

Langkah 2.3

Nilai $y$ pada $x = - 2$ adalah $15$ .

$y = 15$

Langkah 2.4

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 16$

Langkah 2.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16$

Langkah 2.5.2

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.5.3

Gabungkan $16$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Langkah 2.5.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $64$ .

$f (- 1) = \frac{63}{4}$

Langkah 2.5.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Langkah 2.6

Nilai $y$ pada $x = - 1$ adalah $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Langkah 2.7

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + 16$

Langkah 2.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Langkah 2.8.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Langkah 2.8.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Langkah 2.8.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (2) = - 1 + 16$

Langkah 2.8.2

Tambahkan $- 1$ dan $16$ .

$f (2) = 15$

Langkah 2.8.3

Jawaban akhirnya adalah $15$ .

$15$

Langkah 2.9

Nilai $y$ pada $x = 2$ adalah $15$ .

$y = 15$

Langkah 2.10

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{4} + 16$

Langkah 2.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16$

Langkah 2.11.2

Untuk menuliskan $16$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.11.3

Gabungkan $16$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.11.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.11.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.5.1

Kalikan $16$ dengan $4$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Langkah 2.11.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $64$ .

$f (1) = \frac{63}{4}$

Langkah 2.11.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Langkah 2.12

Nilai $y$ pada $x = 1$ adalah $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Langkah 2.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Langkah 3

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(0, 16)$

Fokus: $(0, 15)$

Sumbu Simetri: $x = 0$

Direktriks: $y = 17$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Langkah 4