Prakalkulus Contoh

$f (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 4$

Langkah 1

Tentukan sifat parabola yang diberikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan dalam bentuk verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Selesaikan kuadrat dari $- 2 x^{2} - 5 x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 2$

$b = - 5$

$c = - 4$

Langkah 1.1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$d = \frac{- 5}{- 4}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$d = \frac{5}{4}$

Langkah 1.1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{- 8}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = - 4 - - \frac{25}{8}$

Langkah 1.1.1.4.2.1.4

Kalikan $- - \frac{25}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = - 4 + 1 (\frac{25}{8})$

Langkah 1.1.1.4.2.1.4.2

Kalikan $\frac{25}{8}$ dengan $1$ .

$e = - 4 + \frac{25}{8}$

Langkah 1.1.1.4.2.2

Untuk menuliskan $- 4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$e = - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{25}{8}$

Langkah 1.1.1.4.2.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{25}{8}$

Langkah 1.1.1.4.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e = \frac{- 4 \cdot 8 + 25}{8}$

Langkah 1.1.1.4.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.2.5.1

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$e = \frac{- 32 + 25}{8}$

Langkah 1.1.1.4.2.5.2

Tambahkan $- 32$ dan $25$ .

$e = \frac{- 7}{8}$

Langkah 1.1.1.4.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e = - \frac{7}{8}$

Langkah 1.1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$ .

$- 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

Langkah 1.1.2

Aturlah $y$ sama dengan sisi kanan yang baru.

$y = - 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$

Langkah 1.2

Gunakan bentuk directrix, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , untuk menentukan nilai dari $a$ , $h$ , dan $k$ .

$a = - 2$

$h = - \frac{5}{4}$

$k = - \frac{7}{8}$

Langkah 1.3

Karena nilai $a$ adalah negatif, maka parabola membuka ke bawah.

Membuka ke Bawah

Langkah 1.4

Tentukan verteks $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Langkah 1.5

Temukan $p$ , jarak dari verteks ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hitung jarak dari puncak ke fokus parabola menggunakan rumus berikut.

$\frac{1}{4 a}$

Langkah 1.5.2

Substitusikan nilai $a$ ke dalam rumusnya.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Langkah 1.5.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{8}$

Langkah 1.6

Tentukan fokusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Titik fokus parabola dapat ditentukan dengan menambahkan $p$ ke koordinat y $k$ jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$(h, k + p)$

Langkah 1.6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $p$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \frac{5}{4}, - 1)$

Langkah 1.7

Tentukan sumbu simetri dengan menemukan garis yang melewati verteks dan titik fokus.

$x = - \frac{5}{4}$

Langkah 1.8

Tentukan direktriksnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Garis arah parabola adalah garis datar yang diperoleh dengan mengurangi $p$ dari koordinat y $k$ dari verteks jika parabola membuka ke atas atau ke bawah.

$y = k - p$

Langkah 1.8.2

Substitusikan nilai-nilai $p$ dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$y = - \frac{3}{4}$

Langkah 1.9

Gunakan sifat-sifat parabola untuk menganalisis dan gambarkan parabolanya.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Fokus: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Sumbu Simetri: $x = - \frac{5}{4}$

Direktriks: $y = - \frac{3}{4}$

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Fokus: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Sumbu Simetri: $x = - \frac{5}{4}$

Direktriks: $y = - \frac{3}{4}$

Langkah 2

Pilih beberapa nilai $x$ , dan masukkan nilai-nilai-tersebut ke dalam persamaan untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai. Nilai-nilai $x$ harus dipilih di sekitar verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan $- 2$ dengan ${(- 2)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Kalikan $- 2$ dengan ${(- 2)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Langkah 2.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 5 \cdot - 2 - 4$

Langkah 2.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 5 \cdot - 2 - 4$

Langkah 2.2.1.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 5 \cdot - 2 - 4$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 10 - 4$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tambahkan $- 8$ dan $10$ .

$f (- 2) = 2 - 4$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$f (- 2) = - 2$

Langkah 2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 2.3

Nilai $y$ pada $x = - 2$ adalah $- 2$ .

$y = - 2$

Langkah 2.4

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 3) = - 2 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 - 4$

Langkah 2.5

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 3) = - 2 \cdot 9 - 5 \cdot - 3 - 4$

Langkah 2.5.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $9$ .

$f (- 3) = - 18 - 5 \cdot - 3 - 4$

Langkah 2.5.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $- 3$ .

$f (- 3) = - 18 + 15 - 4$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $- 18$ dan $15$ .

$f (- 3) = - 3 - 4$

Langkah 2.5.2.2

Kurangi $4$ dengan $- 3$ .

$f (- 3) = - 7$

Langkah 2.5.3

Jawaban akhirnya adalah $- 7$ .

$- 7$

Langkah 2.6

Nilai $y$ pada $x = - 3$ adalah $- 7$ .

$y = - 7$

Langkah 2.7

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - 2 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 - 4$

Langkah 2.8

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 - 4$

Langkah 2.8.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 - 4$

Langkah 2.8.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Langkah 2.8.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$f (0) = - 4$

Langkah 2.8.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 2.9

Nilai $y$ pada $x = 0$ adalah $- 4$ .

$y = - 4$

Langkah 2.10

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 4$

Langkah 2.11

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 4$

Langkah 2.11.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (1) = - 2 - 5 \cdot 1 - 4$

Langkah 2.11.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$f (1) = - 2 - 5 - 4$

Langkah 2.11.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.2.1

Kurangi $5$ dengan $- 2$ .

$f (1) = - 7 - 4$

Langkah 2.11.2.2

Kurangi $4$ dengan $- 7$ .

$f (1) = - 11$

Langkah 2.11.3

Jawaban akhirnya adalah $- 11$ .

$- 11$

Langkah 2.12

Nilai $y$ pada $x = 1$ adalah $- 11$ .

$y = - 11$

Langkah 2.13

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

Langkah 3

Gambar grafik parabola menggunakan sifat dan beberapa titik yang dipilih.

Arah: Membuka ke Bawah

Verteks: $(- \frac{5}{4}, - \frac{7}{8})$

Fokus: $(- \frac{5}{4}, - 1)$

Sumbu Simetri: $x = - \frac{5}{4}$

Direktriks: $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 7 \\ - 2 & - 2 \\ - \frac{5}{4} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 11 \end{array}$

Langkah 4