Prakalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Langkah 3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Langkah 3.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (3 y + 6) = x$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y = e^{x} - 6$

Langkah 3.5.3

Bagi setiap suku pada $3 y = e^{x} - 6$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Bagilah setiap suku di $3 y = e^{x} - 6$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Langkah 3.5.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Langkah 3.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.3.1

Bagilah $- 6$ dengan $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ merupakan balikan dari $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Langkah 5.2.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.5.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.1.5.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Langkah 5.2.4.2.2

Bagilah $x + 2$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Langkah 5.2.5

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Langkah 5.2.5.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Langkah 5.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $\frac{e^{x}}{3}$ dan $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Langkah 5.3.4

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Langkah 5.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Langkah 5.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Langkah 5.3.6

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $x$ keluar dari eksponen.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Langkah 5.3.7

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Langkah 5.3.8

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ merupakan balikan dari $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$