Prakalkulus Contoh

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

Langkah 3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3^{y + 1} = x + 2$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.4

Perluas $\ln (3^{y + 1})$ dengan memindahkan $y + 1$ ke luar logaritma.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan $(y + 1) \ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $\ln (3)$ dengan $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Langkah 3.6

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Langkah 3.7

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Langkah 3.8

Kurangkan $\ln (\frac{3}{x + 2})$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Langkah 3.9

Bagi setiap suku pada $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ dengan $\ln (3)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Bagilah setiap suku di $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ dengan $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Langkah 3.9.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Langkah 5.2.3.2

Tambahkan $3^{x + 1}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Langkah 5.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$