Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$

Langkah 1

Atur $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ sama dengan $0$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Langkah 2.1.3

Substitusikan $3$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $3$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Substitusikan $3$ ke dalam polinomialnya.

$3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - 15$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 - 5 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - 15$

Langkah 2.1.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$27 - 5 \cdot 9 + 11 \cdot 3 - 15$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $- 5$ dengan $9$ .

$27 - 45 + 11 \cdot 3 - 15$

Langkah 2.1.3.5

Kurangi $45$ dengan $27$ .

$- 18 + 11 \cdot 3 - 15$

Langkah 2.1.3.6

Kalikan $11$ dengan $3$ .

$- 18 + 33 - 15$

Langkah 2.1.3.7

Tambahkan $- 18$ dan $33$ .

$15 - 15$

Langkah 2.1.3.8

Kurangi $15$ dengan $15$ .

$0$

Langkah 2.1.4

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15}{x - 3}$

Langkah 2.1.5

Bagilah $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ dengan $x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$15$

Langkah 2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$

Langkah 2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Langkah 2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Langkah 2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Langkah 2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Langkah 2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$

Langkah 2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Langkah 2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$

Langkah 2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Langkah 2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Langkah 2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

Langkah 2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 x - 15$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

Langkah 2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$11 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$
										$0$

Langkah 2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 2 x + 5$

Langkah 2.1.6

Tulis $x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 15$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 3) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 2.4

Atur $x^{2} - 2 x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2} - 2 x + 5$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = 5$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.3

Kurangi $20$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.4

Tulis kembali $- 16$ sebagai $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.7

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Langkah 2.4.2.3.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Langkah 2.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 3) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ benar.

$x = 3, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Langkah 3