Prakalkulus Contoh

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 3$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$81 - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Langkah 4.1.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$81 - - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 27$ .

$81 + 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Langkah 4.1.4

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$81 + 27 - 11 \cdot 9 - (- 3) - 12$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 11$ dengan $9$ .

$81 + 27 - 99 - (- 3) - 12$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$81 + 27 - 99 + 3 - 12$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $81$ dan $27$ .

$108 - 99 + 3 - 12$

Langkah 4.2.2

Kurangi $99$ dengan $108$ .

$9 + 3 - 12$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $9$ dan $3$ .

$12 - 12$

Langkah 4.2.4

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12}{x + 3}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 3)$ dan tempatkan hasil $(- 3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(- 3)$ dan tempatkan hasil $(12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 11)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 3)$ dan tempatkan hasil $(- 3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(- 3)$ dan tempatkan hasil $(12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 12)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 3) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 3) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x + 3) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 4$ .

$(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 1)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- x^{3} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan $- x$ dari $- x^{3} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $- x$ dari $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $- x$ dari $- x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 1 + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $- x$ dari $- x (x^{2}) - x (1)$ .

$- x (x^{2} + 1) + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + u^{2} - 11 u - 12 = 0$

Langkah 9.5

Faktorkan $u^{2} - 11 u - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 12$ dan jumlahnya $- 11$ .

$- 12, 1$

Langkah 9.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- x (x^{2} + 1) + (u - 12) (u + 1) = 0$

Langkah 9.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Langkah 9.7

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $- x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Langkah 9.7.2

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12) = 0$

Langkah 9.7.3

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} + 1) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Langkah 9.8

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x^{2} + 1) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Langkah 9.9

Faktorkan $- u + u^{2} - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 12$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 4, 3$

Langkah 9.9.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x^{2} + 1) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Langkah 9.10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Langkah 9.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 11

Atur $x^{2} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} + 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 1$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 11.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 11.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 11.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 11.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 12

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 13

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ benar.

$x = i, - i, 4, - 3$

Langkah 15