Prakalkulus Contoh

$x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(3)}^{3} - 7 {(3)}^{2} + 17 (3) - 15$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 3$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 - 7 {(3)}^{2} + 17 (3) - 15$

Langkah 4.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$27 - 7 \cdot 9 + 17 (3) - 15$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 7$ dengan $9$ .

$27 - 63 + 17 (3) - 15$

Langkah 4.1.4

Kalikan $17$ dengan $3$ .

$27 - 63 + 51 - 15$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $63$ dengan $27$ .

$- 36 + 51 - 15$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 36$ dan $51$ .

$15 - 15$

Langkah 4.2.3

Kurangi $15$ dengan $15$ .

$0$

Langkah 5

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15}{x - 3}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 7)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(17)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$
	$1$	$- 4$	$5$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(5)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(15)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 15)$ .

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$	$15$
	$1$	$- 4$	$5$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 7$	$17$	$- 15$
		$3$	$- 12$	$15$
	$1$	$- 4$	$5$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{2} + - 4 x + 5$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{2} - 4 x + 5$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = 5$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.3

Kurangi $20$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.3

Kurangi $20$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Langkah 7.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 2 + i$

Langkah 7.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.3

Kurangi $20$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Langkah 7.5.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Langkah 7.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 2 - i$

Langkah 7.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 2 + i, 2 - i$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 3) (x - 2 - i) (x - 2 + i)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ .

$x = 3, 2 + i, 2 - i$

Langkah 10