Prakalkulus Contoh

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Langkah 4.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Langkah 4.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

Langkah 4.1.7

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

Langkah 4.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1 + 1 - 12 + 12$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$0 - 12 + 12$

Langkah 4.2.4

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$- 12 + 12$

Langkah 4.2.5

Tambahkan $- 12$ dan $12$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Langkah 6.11

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 12)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Langkah 6.12

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

Langkah 6.13

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

Langkah 6.14

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{4} - x^{2} - 12$

Langkah 7

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

Langkah 8

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

Langkah 9

Faktorkan $u^{2} - u - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 12$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 4, 3$

Langkah 9.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

Langkah 11

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

Langkah 12

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

Langkah 13

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.2

Faktorkan $x$ dari $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.2.3

Faktorkan $x$ dari $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.2.5

Faktorkan $x$ dari $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.5

Faktorkan $u^{2} - u - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 12$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 4, 3$

Langkah 13.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.8

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.8.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.8.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.9

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

Langkah 13.10

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

Langkah 13.11

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.11.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.11.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

Langkah 13.11.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 3$ ditambah $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

Langkah 13.11.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Langkah 13.11.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.11.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Langkah 13.11.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

Langkah 13.11.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- u - 3$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

Langkah 13.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

Langkah 13.13

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Langkah 13.14

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.14.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Langkah 13.14.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 13.15

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.15.1

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Langkah 13.15.2

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

Langkah 13.15.3

Faktorkan $(x + 2) (x - 2)$ dari $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 13.16

Terapkan sifat distributif.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 13.17

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.17.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.17.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 13.17.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 13.17.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 13.18

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Langkah 13.19

Susun kembali suku-suku.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Langkah 13.20

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.20.1

Tulis kembali $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.20.1.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.20.1.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Langkah 13.20.1.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Langkah 13.20.1.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Langkah 13.20.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Langkah 14

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Langkah 15

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 15.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 16

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 16.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 17

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 17.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 18

Atur $x^{2} + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Atur $x^{2} + 3$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Langkah 18.2

Selesaikan $x^{2} + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 3$

Langkah 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Langkah 18.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.3.1

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Langkah 18.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Langkah 18.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Langkah 18.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{3}$

Langkah 18.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{3}$

Langkah 18.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Langkah 19

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ benar.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Langkah 20