Prakalkulus Contoh

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Langkah 4.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Langkah 4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Langkah 4.1.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

Langkah 4.1.6

Kalikan $49$ dengan $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

Langkah 4.1.7

Kalikan $- 25$ dengan $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$1 + 49 - 25 - 25$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $1$ dan $49$ .

$50 - 25 - 25$

Langkah 4.2.3

Kurangi $25$ dengan $50$ .

$25 - 25$

Langkah 4.2.4

Kurangi $25$ dengan $25$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(2)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(49)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(50)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(50)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(25)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(25)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan $- x$ dari $- x^{3} - 25 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $- x$ dari $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $- x$ dari $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $- x$ dari $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Langkah 9.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Langkah 9.5

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ dan yang jumlahnya adalah $b = 49$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1.1

Faktorkan $49$ dari $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Langkah 9.5.1.2

Tulis kembali $49$ sebagai $- 1$ ditambah $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Langkah 9.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Langkah 9.5.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Langkah 9.5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Langkah 9.5.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Langkah 9.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Langkah 9.7

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Langkah 9.7.2

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Langkah 9.7.3

Faktorkan $x^{2} + 25$ dari $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Langkah 9.8

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Langkah 9.9

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Susun kembali suku-suku.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Langkah 9.9.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Langkah 9.9.2.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Langkah 9.9.2.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 9.9.2.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Langkah 9.9.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Langkah 9.9.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Langkah 9.9.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Langkah 9.10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 9.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 11

Atur $x^{2} + 25$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} + 25$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} + 25 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kurangkan $25$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 25$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 25}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Tulis kembali $- 25$ sebagai $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Langkah 11.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (25)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Langkah 11.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Langkah 11.2.3.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Langkah 11.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 5$

Langkah 11.2.3.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 5 i$

Langkah 11.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 5 i$

Langkah 11.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 5 i$

Langkah 11.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 5 i, - 5 i$

Langkah 12

Atur $2 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $2 x + 1$ sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan $2 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 12.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 12.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 12.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 12.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 13

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 13.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Langkah 15