Prakalkulus Contoh

$x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{4} + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 1 + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

Langkah 4.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 1 + 14 \cdot 1 + 16 (1) - 32$

Langkah 4.1.4

Kalikan $14$ dengan $1$ .

$1 + 1 + 14 + 16 (1) - 32$

Langkah 4.1.5

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$1 + 1 + 14 + 16 - 32$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 + 14 + 16 - 32$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $2$ dan $14$ .

$16 + 16 - 32$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $16$ dan $16$ .

$32 - 32$

Langkah 4.2.4

Kurangi $32$ dengan $32$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(1)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$	$2$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(2)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(2)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(14)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$16$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(16)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(16)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(16)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$	$32$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(32)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(32)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 32)$ .

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 32$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 32$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2}) + 16 x + 32$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 1) + x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

$(x - 1) x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x + 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 16)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$x^{3} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan $x$ dari $x^{3} + 16 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $x$ dari $16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot 16$ .

$x (x^{2} + 16) + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} - 32 = 0$

Langkah 9.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + u^{2} + 14 u - 32 = 0$

Langkah 9.5

Faktorkan $u^{2} + 14 u - 32$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 32$ dan jumlahnya $14$ .

$- 2, 16$

Langkah 9.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x (x^{2} + 16) + (u - 2) (u + 16) = 0$

Langkah 9.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

Langkah 9.7

Faktorkan $x^{2} + 16$ dari $x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Faktorkan $x^{2} + 16$ dari $x (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

Langkah 9.7.2

Faktorkan $x^{2} + 16$ dari $(x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.7.3

Faktorkan $x^{2} + 16$ dari $(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} + 16) (x + x^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.8

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x^{2} + 16) (u + u^{2} - 2) = 0$

Langkah 9.9

Faktorkan $u + u^{2} - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 9.9.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x^{2} + 16) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

Langkah 9.10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Langkah 9.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 11

Atur $x^{2} + 16$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} + 16$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} + 16 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 16$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 16}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Tulis kembali $- 16$ sebagai $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Langkah 11.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (16)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Langkah 11.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Langkah 11.2.3.4

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Langkah 11.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 4$

Langkah 11.2.3.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 4 i$

Langkah 11.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 4 i$

Langkah 11.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 4 i$

Langkah 11.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 4 i, - 4 i$

Langkah 12

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 13

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$ benar.

$x = 4 i, - 4 i, 1, - 2$

Langkah 15