Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 3$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Langkah 4.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 25$ dengan $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $27$ dengan $27$ .

$0 - 75 + 75$

Langkah 4.2.2

Kurangi $75$ dengan $0$ .

$- 75 + 75$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 75$ dan $75$ .

$0$

Langkah 5

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(0)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(0)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 25)$ dengan pembagi $(3)$ dan tempatkan hasil $(- 75)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{2} - 25$

Langkah 7

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

Langkah 8

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

Langkah 9.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Langkah 9.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 5$ .

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Langkah 9.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Langkah 11

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 11.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 12

Atur $x + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x + 5$ sama dengan $0$ .

$x + 5 = 0$

Langkah 12.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 5$

Langkah 13

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 13.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ benar.

$x = 3, - 5, 5$

Langkah 15