Prakalkulus Contoh

- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan kuadrat dari

- 54 x + 9 x^{2}

$- 54 x + 9 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Susun kembali

- 54 x

$- 54 x$ dan

9 x^{2}

$9 x^{2}$ .

9 x^{2} - 54 x

$9 x^{2} - 54 x$

Langkah 1.1.2

Gunakan bentuk

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari

a

$a$ ,

b

$b$ , dan

c

$c$ .

a = 9

$a = 9$

b = - 54

$b = - 54$

c = 0

$c = 0$

Langkah 1.1.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.4

Temukan nilai dari

d

$d$ menggunakan rumus

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari

a

$a$ dan

b

$b$ ke dalam rumus

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari

- 54

$- 54$ dan

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Faktorkan

2

$2$ dari

- 54

$- 54$ .

d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.2.1

Faktorkan

2

$2$ dari

2 \cdot 9

$2 \cdot 9$ .

d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Langkah 1.1.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.1.4.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 27}{9}$

Langkah 1.1.4.2.2

Hapus faktor persekutuan dari

$- 27$ dan

$9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.2.1

Faktorkan

$9$ dari

$- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Langkah 1.1.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.2.2.1

Faktorkan

$9$ dari

$9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Langkah 1.1.4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 3}{1}$

Langkah 1.1.4.2.2.2.4

Bagilah

$- 3$ dengan

$1$ .

$d = - 3$

Langkah 1.1.5

Temukan nilai dari

$e$ menggunakan rumus

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari

$c$ ,

$b$ , dan

$a$ ke dalam rumus

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.1.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.1

Naikkan

$- 54$ menjadi pangkat

$2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.1.5.2.1.2

Kalikan

$4$ dengan

$9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Langkah 1.1.5.2.1.3

Bagilah

$2916$ dengan

$36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Langkah 1.1.5.2.1.4

Kalikan

$- 1$ dengan

$81$ .

$e = 0 - 81$

Langkah 1.1.5.2.2

Kurangi

$81$ dengan

$0$ .

$e = - 81$

Langkah 1.1.6

Substitusikan nilai-nilai dari

$a$ ,

$d$ , dan

$e$ ke dalam bentuk verteks

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Langkah 1.2

Substitusikan

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$ untuk

$- 54 x + 9 x^{2}$ dalam persamaan

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Langkah 1.3

Pindahkan

$- 81$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan

$81$ ke kedua sisinya.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Langkah 1.4

Tambahkan

$63$ dan

$81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku dengan

$144$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Langkah 1.6

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan

$1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi

$1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan asimtot dari hiperbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel

$h$ mewakili x-offset dari titik asal,

$k$ mewakili y-offset dari titik asal,

$a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Langkah 4

Asimtotnya mengikuti bentuk

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Langkah 5

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Langkah 5.2

Sederhanakan

$\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tambahkan

$\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ dan

$0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Langkah 5.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Langkah 5.2.3

Gabungkan

$\frac{3}{4}$ dan

$x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Langkah 5.2.4

Kalikan

$\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan

$\frac{3}{4}$ dan

$- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Langkah 5.2.4.2

Kalikan

$3$ dengan

$- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Langkah 5.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Langkah 6

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Langkah 6.2

Sederhanakan

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ dan

$0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan

$- 1$ dengan

$3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Langkah 6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Langkah 6.2.3

Gabungkan

$x$ dan

$\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Langkah 6.2.4

Kalikan

$- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Kalikan

$- 3$ dengan

$- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Langkah 6.2.4.2

Gabungkan

$3$ dan

$\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Langkah 6.2.4.3

Kalikan

$3$ dengan

$3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 6.2.5

Pindahkan

$3$ ke sebelah kiri

$x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 7

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 8

Asimtotnya adalah

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ dan

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Asimtot:

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Langkah 9