Prakalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ tidak terdefinisi.

$x = - \frac{1}{2}, x = 2$

Langkah 2

Karena $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ dari kiri dan $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ dari kanan, maka $x = - \frac{1}{2}$ adalah asimtot tegak.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kiri dan $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $2$ dari kanan, maka $x = 2$ adalah asimtot tegak.

$x = 2$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Langkah 8.1.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x^{1}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Langkah 8.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Langkah 8.1.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Langkah 8.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 x$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 (x) - 2}$

Langkah 8.1.2.1.2

Tulis kembali $- 3$ sebagai $1$ ditambah $- 4$

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}$

Langkah 8.1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}$

Langkah 8.1.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + x - 4 x - 2}$

Langkah 8.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}$

Langkah 8.1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}$

Langkah 8.1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Langkah 8.2

Perluas $x (x^{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Langkah 8.2.2

Susun kembali $x$ dan $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Langkah 8.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Langkah 8.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Langkah 8.2.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Langkah 8.2.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Langkah 8.3

Perluas $(2 x + 1) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + x}{2 x (x - 2) + 1 (x - 2)}$

Langkah 8.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}$

Langkah 8.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.4

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.9

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.10

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2}$

Langkah 8.3.11

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x - 2}$

Langkah 8.3.12

Tambahkan $- 4 x$ dan $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Langkah 8.4

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 8.5

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Langkah 8.6

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Langkah 8.7

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - x$

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Langkah 8.8

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

Langkah 8.9

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Langkah 8.10

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $\frac{3 x^{2}}{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Langkah 8.11

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Langkah 8.12

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4} - \frac{3}{2}$

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Langkah 8.13

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{17 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Langkah 8.14

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{\frac{17 x}{4} + \frac{3}{2}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Langkah 8.15

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - \frac{1}{2}, 2$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Langkah 10