Prakalkulus Contoh

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

Langkah 1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Langkah 3

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{π}{4}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{π}{4}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Langkah 3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.3.2

Kalikan $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Langkah 4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Langkah 5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 5.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 5.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 5.1.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Langkah 5.1.5

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{7 π}{4}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{7 π}{4}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Langkah 5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Kalikan $\frac{7 π}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Langkah 5.2.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Langkah 6

Tentukan periode dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 6.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 7

Periode dari fungsi $\cos (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Temukan nilai-nilai dari $n$ yang menghasilkan nilai dengan interval $[0, 2 π]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{π}{8} + π (0)$

Langkah 8.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{π}{8} + 0$

Langkah 8.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{8}$ dan $0$ .

$\frac{π}{8}$

Langkah 8.1.3

Interval $[0, 2 π]$ memuat $\frac{π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}$

Langkah 8.2

Masukkan $0$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Masukkan $0$ untuk $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$\frac{7 π}{8} + 0$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $\frac{7 π}{8}$ dan $0$ .

$\frac{7 π}{8}$

Langkah 8.2.3

Interval $[0, 2 π]$ memuat $\frac{7 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

Langkah 8.3

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{π}{8} + π (1)$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{π}{8} + π$

Langkah 8.3.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Langkah 8.3.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

Langkah 8.3.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

Langkah 8.3.2.4.2

Tambahkan $π$ dan $8 π$ .

$\frac{9 π}{8}$

Langkah 8.3.3

Interval $[0, 2 π]$ memuat $\frac{9 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

Langkah 8.4

Masukkan $1$ untuk $n$ dan sederhanakan untuk melihat apakah penyelesaiannya termuat dalam $[0, 2 π]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Masukkan $1$ untuk $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{7 π}{8} + π$

Langkah 8.4.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

Langkah 8.4.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

Langkah 8.4.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

Langkah 8.4.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.4.1

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

Langkah 8.4.2.4.2

Tambahkan $7 π$ dan $8 π$ .

$\frac{15 π}{8}$

Langkah 8.4.3

Interval $[0, 2 π]$ memuat $\frac{15 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$