Prakalkulus Contoh

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} = 5$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $4$ .

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3^{x} - 3^{- x} = 5 \cdot 4$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$3^{x} - 3^{- x} = 20$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali $3^{- x}$ sebagai eksponensiasi.

$3^{x} - {(3^{x})}^{- 1} = 20$

Langkah 3.2

Substitusikan $u$ untuk $3^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 20$

Langkah 3.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 20$

Langkah 3.4

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, u, 1$

Langkah 3.4.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$u$

Langkah 3.4.2

Kalikan setiap suku pada $u - \frac{1}{u} = 20$ dengan $u$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan setiap suku dalam $u - \frac{1}{u} = 20$ dengan $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 20 u$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1

Kalikan $u$ dengan $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 20 u$

Langkah 3.4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{u}$ ke dalam pembilangnya.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

Langkah 3.4.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

Langkah 3.4.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u^{2} - 1 = 20 u$

Langkah 3.4.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kurangkan $20 u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} - 1 - 20 u = 0$

Langkah 3.4.3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.4.3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 20$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $u$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.4.1.1

Naikkan $- 20$ menjadi pangkat $2$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4.1.3

Tambahkan $400$ dan $4$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{404}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4.1.4

Tulis kembali $404$ sebagai $2^{2} \cdot 101$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $404$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{4 (101)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$u = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$

Langkah 3.4.3.4.3

Sederhanakan $\frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$ .

$u = 10 \pm \sqrt{101}$

Langkah 3.4.3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$u = 10 + \sqrt{101}, 10 - \sqrt{101}$

Langkah 3.5

Substitusikan $10 + \sqrt{101}$ untuk $u$ dalam $u = 3^{x}$ .

$10 + \sqrt{101} = 3^{x}$

Langkah 3.6

Selesaikan $10 + \sqrt{101} = 3^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3^{x} = 10 + \sqrt{101}$ .

$3^{x} = 10 + \sqrt{101}$

Langkah 3.6.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (3^{x}) = \ln (10 + \sqrt{101})$

Langkah 3.6.3

Perluas $\ln (3^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$

Langkah 3.6.4

Bagi setiap suku pada $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ dengan $\ln (3)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ dengan $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Langkah 3.6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Langkah 3.6.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Langkah 3.7

Substitusikan $10 - \sqrt{101}$ untuk $u$ dalam $u = 3^{x}$ .

$10 - \sqrt{101} = 3^{x}$

Langkah 3.8

Selesaikan $10 - \sqrt{101} = 3^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$ .

$3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

Langkah 3.8.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (3^{x}) = \ln (10 - \sqrt{101})$

Langkah 3.8.3

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (10 - \sqrt{101})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.8.4

Tidak ada penyelesaian untuk $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.9

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Langkah 4

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

Bentuk Desimal:

$x = 2.72910013 \dots$