Prakalkulus Contoh

$2 e^{2 x} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - 7 e^{x} + 3 = 0$

Langkah 1.2

Biarkan $u = e^{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $e^{x}$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Langkah 1.3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $- 7$ dari $- 7 u$ .

$2 u^{2} - 7 u + 3 = 0$

Langkah 1.3.1.2

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1$ ditambah $- 6$

$2 u^{2} + (- 1 - 6) u + 3 = 0$

Langkah 1.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 u^{2} - 1 u - 6 u + 3 = 0$

Langkah 1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 u^{2} - 1 u) - 6 u + 3 = 0$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Langkah 1.3.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 3) = 0$

Langkah 1.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} - 3 = 0$

Langkah 3

Atur $2 e^{x} - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $2 e^{x} - 1$ sama dengan $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $2 e^{x} - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 e^{x} = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 e^{x} = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 e^{x} = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 3.2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Langkah 4

Atur $e^{x} - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $e^{x} - 3$ sama dengan $0$ .

$e^{x} - 3 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $e^{x} - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$e^{x} = 3$

Langkah 4.2.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Langkah 4.2.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Langkah 4.2.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Langkah 4.2.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (3)$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 e^{x} - 1) (e^{x} - 3) = 0$ benar.

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = \ln (\frac{1}{2}), \ln (3)$

Bentuk Desimal:

$x = - 0.69314718 \dots, 1.09861228 \dots$