Prakalkulus Contoh

$3 \sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 3 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\sin (x)$ .

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $- 8$ dari $- 8 u$ .

$3 u^{2} - 8 u - 3 = 0$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali $- 8$ sebagai $1$ ditambah $- 9$

$3 u^{2} + (1 - 9) u - 3 = 0$

Langkah 1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 u^{2} + 1 u - 9 u - 3 = 0$

Langkah 1.2.1.4

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$3 u^{2} + u - 9 u - 3 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(3 u^{2} + u) - 9 u - 3 = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 3) = 0$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x)$ .

$(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 3 = 0$

Langkah 3

Atur $3 \sin (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $3 \sin (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $3 \sin (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 \sin (x) = - 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $3 \sin (x) = - 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 \sin (x) = - 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{3}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (x) = - \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Evaluasi $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x = - 0.3398369$

Langkah 3.2.5

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

Langkah 3.2.6.2

Sudut yang dihasilkan dari $3.48142956$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 3.48142956$

Langkah 3.2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.2.8

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Tambahkan $2 π$ ke $- 0.3398369$ untuk menentukan sudut positif.

$- 0.3398369 + 2 π$

Langkah 3.2.8.2

Kurangi $0.3398369$ dengan $2 π$ .

$5.94334839$

Langkah 3.2.8.3

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = 5.94334839$

Langkah 3.2.9

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Atur $\sin (x) - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $\sin (x) - 3$ sama dengan $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $\sin (x) - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$\sin (x) = 3$

Langkah 4.2.2

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $3$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 3) = 0$ benar.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$