Prakalkulus Contoh

$2 + 13 \sin (x) = 14 \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Kurangkan $14 \cos^{2} (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cos^{2} (x) = 0$

Langkah 2

Ganti $- 14 \cos^{2} (x)$ dengan $- 14 (1 - \sin^{2} (x))$ berdasarkan identitas $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cdot 1 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 3.2

Kalikan $- 14$ dengan $1$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 14$ .

$2 + 13 \sin (x) - 14 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Langkah 4

Kurangi $14$ dengan $2$ .

$13 \sin (x) - 12 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

Langkah 5

Susun ulang polinomial tersebut.

$14 \sin^{2} (x) + 13 \sin (x) - 12 = 0$

Langkah 6

Substitusikan $u$ untuk $\sin (x)$ .

$14 {(u)}^{2} + 13 (u) - 12 = 0$

Langkah 7

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 14 \cdot - 12 = - 168$ dan yang jumlahnya adalah $b = 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $13$ dari $13 u$ .

$14 u^{2} + 13 u - 12 = 0$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali $13$ sebagai $- 8$ ditambah $21$

$14 u^{2} + (- 8 + 21) u - 12 = 0$

Langkah 7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

Langkah 7.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 u (7 u - 4) + 3 (7 u - 4) = 0$

Langkah 7.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $7 u - 4$ .

$(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$

Langkah 8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$7 u - 4 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Langkah 9

Atur $7 u - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $7 u - 4$ sama dengan $0$ .

$7 u - 4 = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $7 u - 4 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$7 u = 4$

Langkah 9.2.2

Bagi setiap suku pada $7 u = 4$ dengan $7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Bagilah setiap suku di $7 u = 4$ dengan $7$ .

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Langkah 9.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

Langkah 9.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{4}{7}$

Langkah 10

Atur $2 u + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $2 u + 3$ sama dengan $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $2 u + 3 = 0$ untuk $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 u = - 3$

Langkah 10.2.2

Bagi setiap suku pada $2 u = - 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 u = - 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 10.2.2.2.1.2

Bagilah $u$ dengan $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Langkah 10.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$u = - \frac{3}{2}$

Langkah 11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$ benar.

$u = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Langkah 12

Substitusikan $\sin (x)$ untuk $u$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

Langkah 13

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = \frac{4}{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{4}{7})$ .

$x = 0.60824557$

Langkah 14.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Langkah 14.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

Langkah 14.4.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

Langkah 14.4.3

Kurangi $0.60824557$ dengan $3.14159265$ .

$x = 2.53334707$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 14.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Selesaikan $x$ dalam $\sin (x) = - \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Jangkauan sinus adalah $- 1 \leq y \leq 1$ . Karena $- \frac{3}{2}$ tidak berada dalam jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 16

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$