Prakalkulus Contoh

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kurangkan $\frac{1}{27}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{27}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Langkah 2.2.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Langkah 2.2.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Langkah 2.2.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Langkah 2.2.3.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - \frac{1}{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - \frac{1}{3}$ sama dengan $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $\frac{1}{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 2.5

Atur $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $9$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Langkah 2.5.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Langkah 2.5.2.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Langkah 2.5.2.1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Langkah 2.5.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Langkah 2.5.2.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.5.2.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 9$ , $b = 3$ , dan $c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 36$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.3

Kurangi $36$ dengan $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.4

Tulis kembali $- 27$ sebagai $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (27)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.7

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1.7.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.7.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.1.9

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Langkah 2.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Langkah 2.5.2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Langkah 2.5.2.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$