Prakalkulus Contoh

$y = 4 \sin (3 x - \frac{1}{3} \cdot π) + 1$

Langkah 1

Gunakan bentuk $a \sin (b x - c) + d$ untuk menemukan variabel yang digunakan untuk menentukan amplitudo, periode, geseran fase, dan pergeseran tegak.

$a = 4$

$b = 3$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 1$

Langkah 2

Tentukan amplitudo $| a |$ .

Amplitudo: $4$

Langkah 3

Tentukan periodenya menggunakan rumus $\frac{2 π}{| b |}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan periode dari $4 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.1.2

Ganti $b$ dengan $3$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Langkah 3.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 3.2

Tentukan periode dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.2.2

Ganti $b$ dengan $3$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Langkah 3.2.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 3.3

Periode dari penjumlahan/pengurangan fungsi trigonometri adalah maksimum dari periode individual.

$\frac{2 π}{3}$

Langkah 4

Tentukan geseran fase menggunakan rumus $\frac{c}{b}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Geseran fase fungsi dapat dihitung dari $\frac{c}{b}$ .

Geseran Fase: $\frac{c}{b}$

Langkah 4.2

Ganti nilai dari $c$ dan $b$ dalam persamaan untuk geseran fase.

Geseran Fase: $\frac{\frac{π}{3}}{3}$

Langkah 4.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

Geseran Fase: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 4.4

Kalikan $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

Geseran Fase: $\frac{π}{3 \cdot 3}$

Langkah 4.4.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

Geseran Fase: $\frac{π}{9}$

Langkah 5

Sebutkan sifat-sifat fungsi trigonometri.

Amplitudo: $4$

Periode: $\frac{2 π}{3}$

Geseran Fase: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ ke kanan)

Pergeseran Tegak: $1$

Langkah 6

Pilih beberapa titik untuk grafik.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan titik pada $x = \frac{π}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{9}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.1.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.1.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{π - π}{3}) + 1$

Langkah 6.1.2.1.3

Kurangi $π$ dengan $π$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (\frac{0}{3}) + 1$

Langkah 6.1.2.1.4

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Langkah 6.1.2.1.5

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Langkah 6.1.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (\frac{π}{9}) = 0 + 1$

Langkah 6.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (\frac{π}{9}) = 1$

Langkah 6.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.2

Tentukan titik pada $x = \frac{5 π}{18}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{18}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $18$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{5 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.2

Untuk menuliskan $- \frac{π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.3.1

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{5 π - 2 π}{6}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.5.2

Kurangi $2 π$ dengan $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{6}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.6.1

Faktorkan $3$ dari $3 π$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (π)}{6}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \sin (\frac{π}{2}) + 1$

Langkah 6.2.2.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 \cdot 1 + 1$

Langkah 6.2.2.1.8

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 4 + 1$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f (\frac{5 π}{18}) = 5$

Langkah 6.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$5$

Langkah 6.3

Tentukan titik pada $x = \frac{4 π}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{4 π}{9}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{4 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.3.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.3.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{4 π - π}{3}) + 1$

Langkah 6.3.2.1.3

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Langkah 6.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 π}{3}) + 1$

Langkah 6.3.2.1.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (π) + 1$

Langkah 6.3.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Langkah 6.3.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Langkah 6.3.2.1.7

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 0 + 1$

Langkah 6.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (\frac{4 π}{9}) = 1$

Langkah 6.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.4

Tentukan titik pada $x = \frac{11 π}{18}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{11 π}{18}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{18}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $18$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 (6)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (3 (\frac{11 π}{3 \cdot 6}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.2

Untuk menuliskan $- \frac{π}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.3.1

Kalikan $\frac{π}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - π \cdot 2}{6}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{11 π - 2 π}{6}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.5.2

Kurangi $2 π$ dengan $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{9 π}{6}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.6.1

Faktorkan $3$ dari $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{6}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 1$

Langkah 6.4.2.1.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 1$

Langkah 6.4.2.1.8

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 (- 1 \cdot 1) + 1$

Langkah 6.4.2.1.9

Kalikan $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = 4 \cdot - 1 + 1$

Langkah 6.4.2.1.9.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 4 + 1$

Langkah 6.4.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$f (\frac{11 π}{18}) = - 3$

Langkah 6.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 6.5

Tentukan titik pada $x = \frac{7 π}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{7 π}{9}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{9}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 (3)}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (3 (\frac{7 π}{3 \cdot 3}) - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{7 π - π}{3}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.3

Kurangi $π$ dengan $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{6 π}{3}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (\frac{2 π}{1}) + 1$

Langkah 6.5.2.1.4.2.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (2 π) + 1$

Langkah 6.5.2.1.5

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \sin (0) + 1$

Langkah 6.5.2.1.6

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 4 \cdot 0 + 1$

Langkah 6.5.2.1.7

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 0 + 1$

Langkah 6.5.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (\frac{7 π}{9}) = 1$

Langkah 6.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 6.6

Sebutkan titik-titik pada tabel.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Langkah 7

Fungsi trigonometri dapat digambar menggunakan amplitudo, periode, geseran fase, pergeseran tegak, dan titik-titik.

Amplitudo: $4$

Periode: $\frac{2 π}{3}$

Geseran Fase: $\frac{π}{9}$ ( $\frac{π}{9}$ ke kanan)

Pergeseran Tegak: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{9} & 1 \\ \frac{5 π}{18} & 5 \\ \frac{4 π}{9} & 1 \\ \frac{11 π}{18} & - 3 \\ \frac{7 π}{9} & 1 \end{array}$

Langkah 8