Prakalkulus Contoh

$\sec^{2} (x) - 2 \tan (x) = 4$

Langkah 1

Ganti $\sec^{2} (x)$ dengan $1 + \tan^{2} (x)$ berdasarkan identitas $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan (x) = 4$

Langkah 2

Susun ulang polinomial tersebut.

$\tan^{2} (x) - 2 \tan (x) + 1 = 4$

Langkah 3

Substitusikan $u$ untuk $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 4$

Langkah 4

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} - 2 u + 1 - 4 = 0$

Langkah 5

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Langkah 6

Faktorkan $u^{2} - 2 u - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 3, 1$

Langkah 6.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Langkah 7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 8

Atur $u - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $u - 3$ sama dengan $0$ .

$u - 3 = 0$

Langkah 8.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 3$

Langkah 9

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 9.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 3) (u + 1) = 0$ benar.

$u = 3, - 1$

Langkah 11

Substitusikan $\tan (x)$ untuk $u$ .

$\tan (x) = 3, - 1$

Langkah 12

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\tan (x) = 3$

$\tan (x) = - 1$

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\tan (x) = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (3)$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Evaluasi $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Langkah 13.3

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Langkah 13.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Langkah 13.4.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Langkah 13.4.3

Tambahkan $3.14159265$ dan $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Langkah 13.5

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 13.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 13.6

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\tan (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (- 1)$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Langkah 14.3

Fungsi tangen negatif pada kuadran kedua dan keempat. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Langkah 14.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Langkah 14.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{4}$ positif dan koterminal dengan $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 14.6

Tambahkan $π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Tambahkan $π$ ke $- \frac{π}{4}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Langkah 14.6.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 14.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 14.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 14.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.4.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Langkah 14.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Langkah 14.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 14.7

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $1.24904577 + π n$ dan $4.39063842 + π n$ menjadi $1.24904577 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16.2

Gabungkan $\frac{3 π}{4} + π n$ dan $\frac{3 π}{4} + π n$ menjadi $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$