Prakalkulus Contoh

$10 \sin^{2} (x) = 10 + 5 \cos (x)$

Langkah 1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$10 \sin^{2} (x) - 10 = 5 \cos (x)$

Langkah 1.2

Kurangkan $5 \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$10 \sin^{2} (x) - 10 - 5 \cos (x) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan $10 \sin^{2} (x) - 10 - 5 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Susun kembali $10 \sin^{2} (x)$ dan $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $- 10$ dari $- 10$ .

$- 10 (1) + 10 \sin^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan $- 10$ dari $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 (1) - 10 (- \sin^{2} (x)) - 5 \cos (x) = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan $- 10$ dari $- 10 (1) - 10 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) - 5 \cos (x) = 0$

Langkah 2.5

Terapkan identitas pythagoras.

$- 10 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) = 0$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $\cos (x)$ .

$- 10 u^{2} - 5 u = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $5 u$ dari $- 10 u^{2} - 5 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Faktorkan $5 u$ dari $- 10 u^{2}$ .

$5 u (- 2 u) - 5 u = 0$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan $5 u$ dari $- 5 u$ .

$5 u (- 2 u) + 5 u (- 1) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Faktorkan $5 u$ dari $5 u (- 2 u) + 5 u (- 1)$ .

$5 u (- 2 u - 1) = 0$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.3

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 3.3.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.3.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 3.3.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 3.3.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.3.2.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.3.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.3.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.3.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.3.2.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.4

Atur $- 2 \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $- 2 \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $- 2 \cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \cos (x) = 1$

Langkah 3.4.2.2

Bagi setiap suku pada $- 2 \cos (x) = 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \cos (x) = 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 3.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 3.4.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

Langkah 3.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.4.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 3.4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.4.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.4.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.4.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 3.4.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 3.4.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 3.4.2.6.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 3.4.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 3.4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 3.4.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 3.4.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $5 \cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{π}{2} + 2 π n$ dan $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ menjadi $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$