Prakalkulus Contoh

$x^{3} - 5 x^{2} + 17 x - 13 = 0$

Langkah 1

Faktorkan $x^{3} - 5 x^{2} + 17 x - 13$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 13$

Langkah 1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 13$

Langkah 1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 13$

Langkah 1.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 17 \cdot 1 - 13$

Langkah 1.3.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$1 - 5 + 17 \cdot 1 - 13$

Langkah 1.3.5

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$- 4 + 17 \cdot 1 - 13$

Langkah 1.3.6

Kalikan $17$ dengan $1$ .

$- 4 + 17 - 13$

Langkah 1.3.7

Tambahkan $- 4$ dan $17$ .

$13 - 13$

Langkah 1.3.8

Kurangi $13$ dengan $13$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 17 x - 13}{x - 1}$

Langkah 1.5

Bagilah $x^{3} - 5 x^{2} + 17 x - 13$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$13$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 4 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$13 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$13 x$	-	$13$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $13 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$13 x$	-	$13$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$13 x$	-	$13$
							+	$13 x$	-	$13$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $13 x - 13$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$13 x$	-	$13$
							-	$13 x$	+	$13$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$17 x$	-	$13$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$13 x$	-	$13$
							-	$13 x$	+	$13$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 4 x + 13$

Langkah 1.6

Tulis $x^{3} - 5 x^{2} + 17 x - 13$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Langkah 3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 4

Atur $x^{2} - 4 x + 13$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x^{2} - 4 x + 13$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = 13$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $13$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.3

Kurangi $52$ dengan $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.4

Tulis kembali $- 36$ sebagai $- 1 (36)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (36)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.7

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.1.9

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2}$

Langkah 4.2.3.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 6 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 3 i$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 2 + 3 i, 2 - 3 i$

Langkah 5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$ benar.

$x = 1, 2 + 3 i, 2 - 3 i$