Prakalkulus Contoh

$\csc^{2} (x) = 6 \cot (x) + 8$

Langkah 1

Ganti $\csc^{2} (x)$ dengan $\cot^{2} (x) + 1$ berdasarkan identitas $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\cot^{2} (x) + 1 = 6 \cot (x) + 8$

Langkah 2

Substitusikan $u$ untuk $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 1 = 6 (u) + 8$

Langkah 3

Kurangkan $6 u$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} + 1 - 6 u = 8$

Langkah 4

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} + 1 - 6 u - 8 = 0$

Langkah 5

Kurangi $8$ dengan $1$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Langkah 6

Faktorkan $u^{2} - 6 u - 7$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 7$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 7, 1$

Langkah 6.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Langkah 7

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Langkah 8

Atur $u - 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Atur $u - 7$ sama dengan $0$ .

$u - 7 = 0$

Langkah 8.2

Tambahkan $7$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 7$

Langkah 9

Atur $u + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $u + 1$ sama dengan $0$ .

$u + 1 = 0$

Langkah 9.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 1$

Langkah 10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 7) (u + 1) = 0$ benar.

$u = 7, - 1$

Langkah 11

Substitusikan $\cot (x)$ untuk $u$ .

$\cot (x) = 7, - 1$

Langkah 12

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\cot (x) = 7$

$\cot (x) = - 1$

Langkah 13

Selesaikan $x$ dalam $\cot (x) = 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (7)$

Langkah 13.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Evaluasi $arccot (7)$ .

$x = 0.14189705$

Langkah 13.3

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Langkah 13.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 3.14159265 + 0.14189705$

Langkah 13.4.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Langkah 13.4.3

Tambahkan $3.14159265$ dan $0.14189705$ .

$x = 3.2834897$

Langkah 13.5

Tentukan periode dari $\cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 13.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 13.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 13.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 13.6

Periode dari fungsi $\cot (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\cot (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (- 1)$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $arccot (- 1)$ adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Langkah 14.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Tambahkan $2 π$ ke $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Langkah 14.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{4}$ positif dan koterminal dengan $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 14.6

Periode dari fungsi $\cot (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Gabungkan penyelesaiannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $0.14189705 + π n$ dan $3.2834897 + π n$ menjadi $0.14189705 + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16.2

Gabungkan $\frac{3 π}{4} + π n$ dan $\frac{7 π}{4} + π n$ menjadi $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$