Prakalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2$

Langkah 1

Atur $x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4} + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4}$ .

$x^{3} x + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan dengan $1$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 1 - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{3} x + x^{3} \cdot 1$ .

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} - x + 2 = 0$

Langkah 2.1.3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} - (x) + 2 = 0$

Langkah 2.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $2$ ditambah $- 3$

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} + (2 - 3) x + 2 = 0$

Langkah 2.1.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} + 2 x - 3 x + 2 = 0$

Langkah 2.1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$x^{3} (x + 1) - 3 x^{2} + 2 x - 3 x + 2 = 0$

Langkah 2.1.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x^{3} (x + 1) + x (- 3 x + 2) + 1 (- 3 x + 2) = 0$

Langkah 2.1.3.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- 3 x + 2$ .

$x^{3} (x + 1) + (- 3 x + 2) (x + 1) = 0$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $x + 1$ dari $x^{3} (x + 1) + (- 3 x + 2) (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Faktorkan $x + 1$ dari $x^{3} (x + 1)$ .

$(x + 1) x^{3} + (- 3 x + 2) (x + 1) = 0$

Langkah 2.1.4.2

Faktorkan $x + 1$ dari $(- 3 x + 2) (x + 1)$ .

$(x + 1) x^{3} + (x + 1) (- 3 x + 2) = 0$

Langkah 2.1.4.3

Faktorkan $x + 1$ dari $(x + 1) x^{3} + (x + 1) (- 3 x + 2)$ .

$(x + 1) (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Langkah 2.1.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis kembali $x^{3} - 3 x + 2$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1

Faktorkan $x^{3} - 3 x + 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.5.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Langkah 2.1.5.1.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Langkah 2.1.5.1.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Langkah 2.1.5.1.1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$1 - 3 + 2$

Langkah 2.1.5.1.1.3.4

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$- 2 + 2$

Langkah 2.1.5.1.1.3.5

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 2.1.5.1.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Langkah 2.1.5.1.1.5

Bagilah $x^{3} - 3 x + 2$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Langkah 2.1.5.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 2.1.5.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 2.1.5.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Langkah 2.1.5.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 2.1.5.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 2.1.5.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Langkah 2.1.5.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Langkah 2.1.5.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Langkah 2.1.5.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Langkah 2.1.5.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Langkah 2.1.5.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + x - 2$

Langkah 2.1.5.1.1.6

Tulis $x^{3} - 3 x + 2$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Langkah 2.1.5.1.2

Faktorkan $x^{2} + x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.2.1

Faktorkan $x^{2} + x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 2.1.5.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x + 1) ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Langkah 2.1.5.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Langkah 2.1.5.1.3

Gabungkan faktor sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1.3.1

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Langkah 2.1.5.1.3.2

Naikkan $x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Langkah 2.1.5.1.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x + 1) ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Langkah 2.1.5.1.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(x + 1) ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Langkah 2.1.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.4

Atur ${(x - 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur ${(x - 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan ${(x - 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ benar.

$x = - 1, 1, - 2$

Langkah 3