Prakalkulus Contoh

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

$3 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 2$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$3 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Langkah 4.1.2

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$48 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Langkah 4.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$48 - 10 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 10$ dengan $8$ .

$48 - 80 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

Langkah 4.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$48 - 80 - 9 \cdot 4 + 40 (2) - 12$

Langkah 4.1.6

Kalikan $- 9$ dengan $4$ .

$48 - 80 - 36 + 40 (2) - 12$

Langkah 4.1.7

Kalikan $40$ dengan $2$ .

$48 - 80 - 36 + 80 - 12$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $80$ dengan $48$ .

$- 32 - 36 + 80 - 12$

Langkah 4.2.2

Kurangi $36$ dengan $- 32$ .

$- 68 + 80 - 12$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 68$ dan $80$ .

$12 - 12$

Langkah 4.2.4

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 5

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12}{x - 2}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(3)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

	$3$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(3)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(6)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 10)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$	$- 4$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 4)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(- 8)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 9)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 17)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(- 34)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(40)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(6)$ dengan pembagi $(2)$ dan tempatkan hasil $(12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 12)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$3 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 17) x + 6$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$

Langkah 7

Selesaikan persamaan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Faktorkan $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Langkah 7.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Langkah 7.1.1.3

Substitusikan $0.\overline{3}$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $0.\overline{3}$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Substitusikan $0.\overline{3}$ ke dalam polinomialnya.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Langkah 7.1.1.3.2

Naikkan $0.\overline{3}$ menjadi pangkat $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Langkah 7.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Langkah 7.1.1.3.4

Naikkan $0.\overline{3}$ menjadi pangkat $2$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Langkah 7.1.1.3.5

Kalikan $- 4$ dengan $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} - 0.\overline{4} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Langkah 7.1.1.3.6

Kurangi $0.\overline{4}$ dengan $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

Langkah 7.1.1.3.7

Kalikan $- 17$ dengan $0.\overline{3}$ .

$- 0.\overline{3} - 5.\overline{6} + 6$

Langkah 7.1.1.3.8

Kurangi $5.\overline{6}$ dengan $- 0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

Langkah 7.1.1.3.9

Tambahkan $- 6$ dan $6$ .

$0$

Langkah 7.1.1.4

Karena $0.\overline{3}$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $3 x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6}{3 x - 1}$

Langkah 7.1.1.5

Bagilah $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ dengan $3 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$17 x$

$6$

Langkah 7.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$

Langkah 7.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Langkah 7.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Langkah 7.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

Langkah 7.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Langkah 7.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} + x$

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

Langkah 7.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$

Langkah 7.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Langkah 7.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 18 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

Langkah 7.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

Langkah 7.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 18 x + 6$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

Langkah 7.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

Langkah 7.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - x - 6$

Langkah 7.1.1.6

Tulis $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ sebagai himpunan faktor.

$(3 x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $x^{2} - x - 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $x^{2} - x - 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 6$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 3, 2$

Langkah 7.1.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(3 x - 1) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Langkah 7.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

Langkah 7.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 7.3

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 7.3.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 7.3.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 7.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 7.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 7.4

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 7.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 7.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 7.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 7.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, 3, - 2$

Langkah 8

Polinomial dapat ditulis sebagai himpunan faktor linear.

$(x - 2) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 2)$

Langkah 9

Ini adalah akar-akar (nol) dari polinomial $3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$ .

$x = 2, \frac{1}{3}, 3, - 2$

Langkah 10