Prakalkulus Contoh

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{2}{x}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Langkah 2

Sederhanakan $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Langkah 2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Langkah 2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

Langkah 2.4

Untuk menuliskan $\frac{x + 3}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

Langkah 2.5

Untuk menuliskan $- \frac{2}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Langkah 2.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $\frac{x + 3}{x + 1}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Langkah 2.6.2

Kalikan $\frac{2}{x}$ dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.6.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.8.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.8.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.8.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.8.5

Kurangi $2 x$ dengan $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 2.8.6

Faktorkan $x^{2} + x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.6.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 2.8.6.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 7

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Langkah 8

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

Langkah 9

Tentukan domain dari $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x (x + 1) = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 9.2.2

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 9.2.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 9.2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 9.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 9.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Langkah 11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 11.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

Langkah 11.1.3

Sisi kiri $0.\overline{3}$ lebih besar dari sisi kanan $- 0.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 1.5$

Langkah 11.2.2

Ganti $x$ dengan $- 1.5$ pada pertidaksamaan asal.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

Langkah 11.2.3

Sisi kiri $- 3$ lebih kecil dari sisi kanan $- 1.\overline{3}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.3

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 0.5$

Langkah 11.3.2

Ganti $x$ dengan $- 0.5$ pada pertidaksamaan asal.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

Langkah 11.3.3

Sisi kiri $5$ lebih besar dari sisi kanan $- 4$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.4

Uji nilai pada interval $0 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0.5$

Langkah 11.4.2

Ganti $x$ dengan $0.5$ pada pertidaksamaan asal.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

Langkah 11.4.3

Sisi kiri $2.\overline{3}$ lebih kecil dari sisi kanan $4$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.5

Uji nilai pada interval $x > 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 11.5.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

Langkah 11.5.3

Sisi kiri $1.4$ lebih besar dari sisi kanan $0.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Salah

$- 2 < x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 0$ Salah

$0 < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

$x < - 2$ Salah

$- 2 < x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 0$ Salah

$0 < x < 1$ Benar

$x > 1$ Salah

Langkah 12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 2 \leq x < - 1$ atau $0 < x \leq 1$

Langkah 13

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

Langkah 14