Prakalkulus Contoh

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = - 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Langkah 4.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$1 + 2 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

Langkah 4.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 2 + 1 - 8 \cdot - 1 - 12$

Langkah 4.1.5

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$1 + 2 + 1 + 8 - 12$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3 + 1 + 8 - 12$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$4 + 8 - 12$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $4$ dan $8$ .

$12 - 12$

Langkah 4.2.4

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$0$

Langkah 5

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 2)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 3)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(1)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$4$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(4)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(- 4)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 8)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Langkah 6.9

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 12)$ dengan pembagi $(- 1)$ dan tempatkan hasil $(12)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 12)$ .

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

Langkah 6.10

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$	$0$

Langkah 6.11

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (4) x - 12$

Langkah 6.12

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

Langkah 7

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 x - 12$

Langkah 7.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) + x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

$(x + 1) x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

Langkah 8

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 3$ .

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 4)$

Langkah 9

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.2

Faktorkan $- 2 x$ dari $- 2 x^{3} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $- 2 x$ dari $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.2.2

Faktorkan $- 2 x$ dari $- 8 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 4 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.2.3

Faktorkan $- 2 x$ dari $- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.3

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

Langkah 9.4

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + u - 12 = 0$

Langkah 9.5

Faktorkan $u^{2} + u - 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 12$ dan jumlahnya $1$ .

$- 3, 4$

Langkah 9.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u - 3) (u + 4) = 0$

Langkah 9.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Langkah 9.7

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $- 2 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

Langkah 9.7.2

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3) = 0$

Langkah 9.7.3

Faktorkan $x^{2} + 4$ dari $(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

Langkah 9.8

Biarkan $u = x$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x$ .

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

Langkah 9.9

Faktorkan $- 2 u + u^{2} - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.9.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 3, 1$

Langkah 9.9.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x^{2} + 4) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Langkah 9.10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.10.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Langkah 9.10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$

Langkah 10

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 11

Atur $x^{2} + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x^{2} + 4$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Langkah 11.2

Selesaikan $x^{2} + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 4$

Langkah 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Langkah 11.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.3.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Langkah 11.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Langkah 11.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Langkah 11.2.3.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Langkah 11.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 2$

Langkah 11.2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 2 i$

Langkah 11.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2 i$

Langkah 11.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2 i$

Langkah 11.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2 i, - 2 i$

Langkah 12

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 12.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 13

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 13.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 14

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 2 i, - 2 i, 3, - 1$

Langkah 15