Prakalkulus Contoh

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Langkah 3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Langkah 3.3

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + y}$ sebagai ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Sederhanakan.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Langkah 3.4.3.1.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Langkah 3.4.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Langkah 3.4.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 3.4.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 3.4.3.1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 3.4.3.1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Langkah 3.4.3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Langkah 3.4.3.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Langkah 3.4.3.1.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Langkah 3.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Langkah 3.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $x^{2} - 2 x$ dan $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ merupakan balikan dari $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Tulis kembali ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ sebagai $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.2

Perluas $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.2

Kalikan $\sqrt{1 + x}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.3

Kalikan $\sqrt{1 + x}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.4

Kalikan $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.4.1

Naikkan $\sqrt{1 + x}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.4.2

Naikkan $\sqrt{1 + x}$ menjadi pangkat $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ sebagai $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + x}$ sebagai ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.3.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.1.5.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.3.3

Tambahkan $\sqrt{1 + x}$ dan $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

Langkah 5.2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $0$ dan $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

Langkah 5.2.4.3

Kurangi $2 \sqrt{1 + x}$ dengan $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.4

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (x^{2} - 2 x)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Langkah 5.3.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1

Susun kembali suku-suku.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

Langkah 5.3.4.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

Langkah 5.3.4.1.3

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Langkah 5.3.4.1.4

Tulis kembali polinomialnya.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

Langkah 5.3.4.1.5

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

Langkah 5.3.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

Langkah 5.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

Langkah 5.3.5.2

Susun kembali $2$ dan $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ merupakan balikan dari $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$