Prakalkulus Contoh

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

Langkah 1

Bagi setiap suku pada $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ dengan $\sec (\frac{θ}{2})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ dengan $\sec (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Langkah 1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (\frac{θ}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

Langkah 1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali $\sec (\frac{θ}{2})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

Langkah 1.3.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ .

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Naikkan $\cos (\frac{θ}{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

Langkah 1.3.3.2

Naikkan $\cos (\frac{θ}{2})$ menjadi pangkat $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

Langkah 1.3.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

Langkah 1.3.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

Langkah 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Langkah 4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

Langkah 6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $θ$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

Langkah 7

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

Langkah 7.3

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$θ = 0$

Langkah 7.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

Langkah 7.5

Selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Langkah 7.5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

Langkah 7.5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = 2 (2 π - 0)$

Langkah 7.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1

Sederhanakan $2 (2 π - 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1.1

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

Langkah 7.5.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$θ = 4 π$

Langkah 7.6

Tentukan periode dari $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.6.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 7.6.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.6.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 7.6.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 7.7

Periode dari fungsi $\cos (\frac{θ}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Selesaikan $θ$ dalam $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $θ$ dari dalam kosinus.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

Langkah 8.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Langkah 8.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

Langkah 8.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = 2 π$

Langkah 8.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

Langkah 8.6

Selesaikan $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Langkah 8.6.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

Langkah 8.6.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$θ = 2 (2 π - π)$

Langkah 8.6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.2.1

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$θ = 2 π$

Langkah 8.7

Tentukan periode dari $\cos (\frac{θ}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.7.2

Ganti $b$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Langkah 8.7.3

$\frac{1}{2}$ mendekati $0.5$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Langkah 8.7.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$2 π \cdot 2$

Langkah 8.7.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 π$

Langkah 8.8

Periode dari fungsi $\cos (\frac{θ}{2})$ adalah $4 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $4 π$ radian di kedua arah.

$θ = 2 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Gabungkan jawabannya.

$θ = 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$