Prakalkulus Contoh

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1

Sederhanakan dan susun ulang polinomial tersebut dalam urutan turun untuk menggunakan kaidah Descartes.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x - 6)}^{2}$ sebagai $(x - 6) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.2

Perluas $(x - 6) (x - 6)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $- 6$ .

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.3.2

Kurangi $6 x$ dengan $- 6 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali ${(x + 2)}^{2}$ sebagai $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

Langkah 1.5

Perluas $(x + 2) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Langkah 1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Langkah 1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Langkah 1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Langkah 1.6.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Langkah 1.6.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Langkah 1.6.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

Langkah 1.7

Perluas $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.5

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.5.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.5.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.7

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.7.1

Pindahkan $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.8

Kalikan $- 12$ dengan $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.9

Kalikan $4$ dengan $- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.10

Kalikan $4$ dengan $36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

Langkah 1.8.1.11

Kalikan $36$ dengan $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.2.1

Kurangi $12 x^{3}$ dengan $4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Langkah 1.8.2.2

Kurangi $48 x^{2}$ dengan $4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

Langkah 1.8.2.3

Tambahkan $- 44 x^{2}$ dan $36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

Langkah 1.8.2.4

Tambahkan $- 48 x$ dan $144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Langkah 2

Untuk menghitung jumlah akar positif yang memungkinkan, lihat tanda-tanda pada koefisien dan hitung berapa kali tanda-tanda pada koefisien berubah dari positif ke negatif atau negatif ke positif.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

Langkah 3

Karena ada $2$ perubahan tanda dari suku urutan tertinggi ke terendah, maka terdapat paling banyak $2$ akar positif (Aturan Tanda Descartes). Bilangan lain yang memungkinkan dari akar positif ditemukan dengan mengurangi pasangan akar $(2 - 2)$ .

Akar Positif: $2$ atau $0$

Langkah 4

Untuk menghitung jumlah akar negatif yang memungkinkan, substitusikan $x$ dengan $- x$ dan ulangi perbandingan tanda.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.9

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

Langkah 5.10

Kalikan $- 1$ dengan $96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

Langkah 6

Karena ada $2$ perubahan tanda dari suku urutan tertinggi ke terendah, maka terdapat paling banyak $2$ akar negatif (Aturan Tanda Descartes). Bilangan lain yang memungkinkan dari akar negatif ditemukan dengan mengurangi pasangan akar (contoh $2 - 2$ ).

Akar Negatif: $2$ atau $0$

Langkah 7

Jumlah akar-akar positif yang memungkinkan adalah $2$ atau $0$ , dan jumlah akar-akar negatif yang memungkinkan adalah $2$ atau $0$ .

Akar Positif: $2$ atau $0$

Akar Negatif: $2$ atau $0$