Prakalkulus Contoh

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

Langkah 1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 2

Faktorkan $32$ dari $64 x - 32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $32$ dari $64 x$ .

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 2.2

Faktorkan $32$ dari $- 32$ .

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 2.3

Faktorkan $32$ dari $32 (2 x) + 32 (- 1)$ .

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 3

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{4}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2}$

Langkah 3.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 13 x^{3}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2}$

Langkah 3.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $6 x^{2}$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Langkah 3.4

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$

Langkah 3.5

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6)$

Langkah 4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 13$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Faktorkan $- 13$ dari $- 13 x$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 (x) + 6)$

Langkah 4.1.1.2

Tulis kembali $- 13$ sebagai $- 1$ ditambah $- 12$

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6)$

Langkah 4.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6)$

Langkah 4.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6)$

Langkah 4.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1))$

Langkah 4.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6))$

Langkah 4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Langkah 5

Faktorkan $2 x - 1$ dari $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2 x - 1$ dari $32 (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 x - 1$ dari $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ .

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 x - 1$ dari $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6))$

Langkah 6

Terapkan sifat distributif.

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6)$

Langkah 7

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6)$

Langkah 7.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6)$

Langkah 7.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6)$

Langkah 8

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2})$

Langkah 9

Susun kembali suku-suku.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$

Langkah 10

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Faktorkan $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Langkah 10.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Langkah 10.1.1.3

Substitusikan $- 2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.3.1

Substitusikan $- 2$ ke dalam polinomialnya.

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Langkah 10.1.1.3.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

Langkah 10.1.1.3.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

Langkah 10.1.1.3.4

Kalikan $- 6$ dengan $4$ .

$- 8 - 24 + 32$

Langkah 10.1.1.3.5

Kurangi $24$ dengan $- 8$ .

$- 32 + 32$

Langkah 10.1.1.3.6

Tambahkan $- 32$ dan $32$ .

$0$

Langkah 10.1.1.4

Karena $- 2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

Langkah 10.1.1.5

Bagilah $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Langkah 10.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

Langkah 10.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 10.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 10.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Langkah 10.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 10.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 8 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 10.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Langkah 10.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 8 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Langkah 10.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Langkah 10.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Langkah 10.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $16 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

Langkah 10.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

Langkah 10.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $16 x + 32$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

Langkah 10.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

Langkah 10.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 8 x + 16$

Langkah 10.1.1.6

Tulis $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ sebagai himpunan faktor.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16))$

Langkah 10.1.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2}))$

Langkah 10.1.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Langkah 10.1.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}))$

Langkah 10.1.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2})$

Langkah 10.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2}$