Prakalkulus Contoh

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{k}$ dan $a_{k + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ dan ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ dari ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $k$ dan $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $k$ dengan $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$r = \frac{2}{3}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $k$ ke dalam $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Langkah 3.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

Langkah 3.2.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Langkah 3.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a = 4 \cdot 1$

Langkah 3.2.6

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$a = 4$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ ke dalam pembilangnya.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $3$ dari $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.8

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.1

Kalikan $3$ dengan $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.4.11.2

Kurangi $256$ dengan $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

Langkah 5.6

Bagilah $\frac{6305}{2187}$ dengan $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

Langkah 5.7

Kalikan $4 (\frac{6305}{2187})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

Langkah 5.7.2

Kalikan $4$ dengan $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{25220}{2187}$

Bentuk Desimal:

$11.53177869 \dots$

Bentuk Bilangan Campuran:

$11 \frac{1163}{2187}$