Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 5$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 + {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{25 + 16}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $25$ dan $16$ .

$\sqrt{41}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(5, 0)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 5, 0)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(5, 0), (- 5, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\sqrt{41}, 0)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \sqrt{41}, 0)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(\sqrt{41}, 0), (- \sqrt{41}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}}{5}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4^{2}}}{5}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 16}}{5}$

Langkah 8.3.3

Tambahkan $25$ dan $16$ .

$\frac{\sqrt{41}}{5}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{41}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{16}{\sqrt{41}}$ dengan $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $\frac{16}{\sqrt{41}}$ dengan $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan $\sqrt{41}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $\sqrt{41}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{41}}^{2}$ sebagai $41$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{41}$ sebagai $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{4}{5} x + 0$

Langkah 11

Sederhanakan $\frac{4}{5} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tambahkan $\frac{4}{5} x$ dan $0$ .

$y = \frac{4}{5} x$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{4}{5}$ dan $x$ .

$y = \frac{4 x}{5}$

Langkah 12

Sederhanakan $- \frac{4}{5} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $- \frac{4}{5} x$ dan $0$ .

$y = - \frac{4}{5} x$

Langkah 12.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5}$

Langkah 12.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{4 x}{5}, y = - \frac{4 x}{5}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, 0)$

Verteks: $(5, 0), (- 5, 0)$

Titik api: $(\sqrt{41}, 0), (- \sqrt{41}, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{41}}{5}$

Parameter Fokus: $\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Asimtot: $y = \frac{4 x}{5}$ , $y = - \frac{4 x}{5}$

Langkah 15