Prakalkulus Contoh

$x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$

Langkah 1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1$

Langkah 2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

Langkah 3

Substitusikan akar-akar yang memungkinkan satu demi satu ke dalam polinomial untuk mencari akar-akar aktualnya. Sederhanakan untuk mengetahui apakah nilainya adalah $0$ , yang berarti merupakan akarnya.

${(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $x = 1$ adalah akar dari polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 4 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 4.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 - 4 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$1 - 4 - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$1 - 4 - 7 + 10$

Langkah 4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- 3 - 7 + 10$

Langkah 4.2.2

Kurangi $7$ dengan $- 3$ .

$- 10 + 10$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $- 10$ dan $10$ .

$0$

Langkah 5

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menentukan akar yang tersisa.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10}{x - 1}$

Langkah 6

Selanjutnya, tentukan akar-akar dari polinomial yang tersisa. Urutan polinomial sudah dikurangi oleh $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tempatkan bilangan yang mewakili pembagi dan bilangan yang dibagi ke dalam konfigurasi yang seperti pembagian.

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$

Langkah 6.2

Bilangan pertama dalam bilangan yang dibagi $(1)$ dimasukkan ke dalam posisi pertama dari daerah hasil (di bawah garis datar).

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$

	$1$

Langkah 6.3

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(1)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(1)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 4)$ .

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$
	$1$

Langkah 6.4

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$
	$1$	$- 3$

Langkah 6.5

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 3)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 3)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(- 7)$ .

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$
	$1$	$- 3$

Langkah 6.6

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$
	$1$	$- 3$	$- 10$

Langkah 6.7

Kalikan entri terbaru dalam hasil $(- 10)$ dengan pembagi $(1)$ dan tempatkan hasil $(- 10)$ di bawah suku berikutnya dalam bilangan yang dibagi $(10)$ .

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$1$	$- 3$	$- 10$

Langkah 6.8

Jumlahkan hasil dari perkalian dan bilangan dari pembagi, lalu letakkan hasilnya di posisi berikutnya pada garis hasil.

$1$	$1$	$- 4$	$- 7$	$10$
		$1$	$- 3$	$- 10$
	$1$	$- 3$	$- 10$	$0$

Langkah 6.9

Semua bilangan, kecuali yang terakhir, menjadi koefisien dari polinomial hasil bagi. Nilai terakhir pada garis hasil adalah sisanya.

$1 x^{2} + - 3 x - 10$

Langkah 6.10

Sederhanakan polinomial hasil baginya.

$x^{2} - 3 x - 10$

Langkah 7

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 10$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 10$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 5, 2$

Langkah 7.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) + (x - 5) (x + 2)$

$(x - 1) (x - 5) (x + 2)$

Langkah 8

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan $x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Langkah 8.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Langkah 8.1.3

Substitusikan $1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Substitusikan $1$ ke dalam polinomialnya.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 8.1.3.2

Naikkan $1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 8.1.3.3

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 8.1.3.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$1 - 4 - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 8.1.3.5

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- 3 - 7 \cdot 1 + 10$

Langkah 8.1.3.6

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$- 3 - 7 + 10$

Langkah 8.1.3.7

Kurangi $7$ dengan $- 3$ .

$- 10 + 10$

Langkah 8.1.3.8

Tambahkan $- 10$ dan $10$ .

$0$

Langkah 8.1.4

Karena $1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10}{x - 1}$

Langkah 8.1.5

Bagilah $x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$10$

Langkah 8.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$

Langkah 8.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 8.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 8.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Langkah 8.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$

Langkah 8.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 3 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$

Langkah 8.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Langkah 8.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 3 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 8.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$

Langkah 8.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$

Langkah 8.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 10 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$

Langkah 8.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	+	$10$

Langkah 8.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 10 x + 10$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	-	$10$

Langkah 8.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$10$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	-	$10$
										$0$

Langkah 8.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 3 x - 10$

Langkah 8.1.6

Tulis $x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Langkah 8.2

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 10$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 10$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 10$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 5, 2$

Langkah 8.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Langkah 8.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

Langkah 9

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 10

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 10.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 11

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 11.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 12

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 12.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 13

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ benar.

$x = 1, 5, - 2$

Langkah 14