Prakalkulus Contoh

$\cos (2 x) - \cos (x) = 0$

Langkah 1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x) = 0$

Langkah 2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Susun kembali suku-suku.

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 2.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 2.2.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 2.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

Langkah 2.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 4

Atur $2 \cos (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $2 \cos (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $2 \cos (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (x) = - 1$

Langkah 4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \cos (x) = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 4.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (- \frac{1}{2})$ adalah $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.5

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Langkah 4.2.6.3.2

Kurangi $2 π$ dengan $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Langkah 4.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Atur $\cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 5.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 5.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 5.2.6

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.7

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8