Prakalkulus Contoh

2 {cos}^{2} (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Langkah 1

Tambahkan

1

$1$ ke kedua sisi persamaan.

2 {cos}^{2} (x) = 1

$2 \cos^{2} (x) = 1$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada

2 {cos}^{2} (x) = 1

$2 \cos^{2} (x) = 1$ dengan

2

$2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di

2 {cos}^{2} (x) = 1

$2 \cos^{2} (x) = 1$ dengan

2

$2$ .

\frac{2 {cos}^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah

$\cos^{2} (x)$ dengan

$1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Langkah 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.2

Sebarang akar dari

$1$ adalah

$1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.3

Kalikan

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 4.4.2

Naikkan

$\sqrt{2}$ menjadi pangkat

$1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 4.4.3

Naikkan

$\sqrt{2}$ menjadi pangkat

$1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 4.4.4

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.4.5

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 4.4.6

Tulis kembali

${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.1

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{2}$ sebagai

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.6.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari

$\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan

$x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 7

Selesaikan

$x$ dalam

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Nilai eksak dari

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 7.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Langkah 7.4

Sederhanakan

$2 π - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Untuk menuliskan

$2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 7.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Gabungkan

$2 π$ dan

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 7.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 7.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.3.1

Kalikan

$4$ dengan

$2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Langkah 7.4.3.2

Kurangi

$π$ dengan

$8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 7.5

Tentukan periode dari

$\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.5.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 7.5.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 7.6

Periode dari fungsi

$\cos (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 8

Selesaikan

$x$ dalam

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

$x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Nilai eksak dari

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah

$\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 8.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

$2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Langkah 8.4

Sederhanakan

$2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Untuk menuliskan

$2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 8.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Gabungkan

$2 π$ dan

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 8.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Langkah 8.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.1

Kalikan

$4$ dengan

$2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Langkah 8.4.3.2

Kurangi

$3 π$ dengan

$8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 8.5

Tentukan periode dari

$\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.5.2

Ganti

$b$ dengan

$1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 8.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

$0$ dan

$1$ adalah

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 8.5.4

Bagilah

$2 π$ dengan

$1$ .

$2 π$

Langkah 8.6

Periode dari fungsi

$\cos (x)$ adalah

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

$2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$

Langkah 10

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat

$n$