Prakalkulus Contoh

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x - 1}{x - 2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $\frac{x + 2}{x + 3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $- \frac{x - 1}{x - 2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Langkah 2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + 3) (x - 2)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $\frac{x + 2}{x + 3}$ dengan $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{x - 1}{x - 2}$ dengan $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

Langkah 2.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Perluas $(x + 2) (x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot - 2$ dan $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.2.3

Tambahkan $x \cdot x$ dan $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.6

Perluas $(- x + 1) (x + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.7.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.7.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.7.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.7.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.7.2

Tambahkan $- 3 x$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.8

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.9

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.5.10

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.9

Tulis kembali $- (2 x + 1)$ sebagai $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 6

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 7

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 8

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

Langkah 9

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

Langkah 10

Tentukan domain dari $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 10.2.2

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 10.2.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 10.2.3

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 10.2.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 10.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 3) (x - 2) = 0$ benar.

$x = - 3, 2$

Langkah 10.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 11

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

Langkah 12

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Uji nilai pada interval $x < - 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 6$

Langkah 12.1.2

Ganti $x$ dengan $- 6$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

Langkah 12.1.3

Sisi kiri $1.\overline{3}$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0.875$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.2

Uji nilai pada interval $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Pilih nilai pada interval $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 12.2.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

Langkah 12.2.3

Sisi kiri $0$ lebih kecil dari sisi kanan $0.75$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.3

Uji nilai pada interval $- \frac{1}{2} < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{1}{2} < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 12.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

Langkah 12.3.3

Sisi kiri $0.\overline{6}$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 12.4

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 12.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

Langkah 12.4.3

Sisi kiri $0.\overline{857142}$ lebih kecil dari sisi kanan $1.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 12.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 3$ Salah

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Benar

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 3$ Salah

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ Benar

$- \frac{1}{2} < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 13

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ atau $x > 2$

Langkah 14

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

Langkah 15